Representaciones lineales de permutación representaciones

Question

Deje $G$ ser un grupo finito, y considerar la posibilidad de una permutación representación de $G$ en algunas conjunto finito $\Sigma$$|\Sigma| = n$. Considerando el espacio vectorial $V$ más de $\mathbf{C}$ de la dimensión de $n$ generado por los elementos de la $\Sigma$, se obtiene una representación $V$ $G$ con carácter, que denotamos por a $\chi_{\Sigma}$.

Problema: Si uno sólo se da un carácter $\chi$$G$, ¿cuál es la forma más fácil de saber si es igual a $\chi_{\Sigma}$ para algunos de permutación representación $\Sigma$$G$?

Algunas Observaciones: parece ser bastante estrictos requisitos de la condición. El carácter $\chi$ debe ser valorado en $\mathbf{Z}$. De hecho, $\chi$ se debe extender el carácter de $S_n$ dada por el trivial más el estándar de representación.

Una Precaución : Supongamos que $G = D_8$ es el diedro grupo de orden $8$, e $H = Q_8$ es el quaternion grupo de orden $8$. A continuación, el carácter de las tablas de $G$ $H$ son los mismos. En particular, la inclusión $G \rightarrow S_4$ da lugar a un carácter $\chi$ $G$ que viene de una permutación de la representación, pero el "correspondiente" carácter de $H$ no. Así que la respuesta debe involucrar a saber más de la tabla de caracteres de $G$.

Tautologías : es evidente que, dada $\chi$, uno simplemente puede "calcular" todas las permutaciones de las representaciones de $G$, y a ver si $\chi = \chi_{\Sigma}$ para cualquier tales representaciones que surgen, pero esto no es necesariamente práctico.

Answer 1

Para empezar, permítanme amortiguar sus esperanzas: no hay una manera fácil de hacerlo. Pero no son menos fáciles. Me limitaré a dar algunas palabras clave para la búsqueda, marcado en cursiva.

En primer lugar, no sólo tiene el carácter de ser definido a lo largo del $\mathbb{Z}$, se debe pertenecer a una representación que se definen en $\mathbb{Q}$ (o $\mathbb{Z}$ si te gusta - este es el mismo). Como nota, hay personajes que son $\mathbb{Q}$-valorados, pero cuya representación no puede ser definido más de $\mathbb{Q}$. Este defecto se mide por el llamado índice de Schur. El segundo volumen de Curtis y Reiner "Métodos de la teoría de la representación con aplicaciones a grupos finitos y pedidos" contiene un maravilloso capítulo de Schur índices (en realidad, todo el libro es maravilloso). También, hay un montón de documentos, la investigación de Schur índices.

Así que ahora, supongamos que el $\chi$ es un personaje que pertenece a un $\mathbb{Q}$-representación irreducible (inicio con un complejo irreductible carácter, tomar la suma de sus Galois conjugados, luego se multiplica por el índice de Schur para conseguir un $\chi$), y queremos saber si se trata de un virtual permutación de caracteres, es decir, si puede ser escrito como una diferencia de permutación de los personajes. Artin de inducción teorema (ver, por ejemplo, Isaacs, o Curtis y Reiner) implica que $|G|\cdot \chi$ es un virtual permutación carácter. Así que usted quiere saber el entero más pequeño $n$ tal que $n\cdot \chi$ es un virtual permutación carácter.

La forma de estudiar esta cuestión es mediante la definición de dos anillos conectados a $G$: el anillo de Burnside de $G$ es distribuido más de $\mathbb{Z}$ por símbolos $[T]$ por cada transitiva $G$-establecer $T$ (hasta el isomorfismo de curso) con la adición $[T\cup S] = [T] + [S]$ y con la multiplicación dada por el producto Cartesiano: $[T]\cdot[S] = [T\times S]$. El racional de la representación anillo de $G$ es distribuido por $\mathbb{Q}$-representaciones irreducibles de $G$ con la adición dada por la suma directa, y la multiplicación dada por el producto tensor. Hay una natural mapa desde el primero al último, la adopción de un conjunto y convertirlo en una permutación de la representación en la forma familiar. Artin de inducción teorema dice que la cokernel de este mapa es finito. Si es 1 (y a menudo lo es), entonces cada carácter de un racional es la representación virtual de permutación de carácter. En general, este índice puede ser mayor que 1, el más pequeño ejemplo es$Q_8\times C_3$, y es debido a la Serre (ver Serre de la Teoría de la Representación libro). El índice es a menudo llamado el Artin índice y también ha sido ampliamente estudiado. La primera página de este documento da varias referencias.

Ok, esto debería ayudarle a empezar.