Demostrar rango $A^TA$ = fila $A$ para cualquier $A_{m \times n}$

Question

¿Cómo puedo demostrar rango $A^TA$ = fila $A$ para cualquier $A_{m \times n}$?

Este es un ejercicio en mi libro de texto relacionado con proyecciones ortogonales y el proceso de Gram – Schmidt pero no estoy seguro cómo son relevantes.

Answer 1

Que $\mathbf{x} \in N(A)$ $N(A)$ Dónde está el espacio nulo de $A$.

Así, $$\begin{align} A\mathbf{x} &=\mathbf{0} \\\implies A^TA\mathbf{x} &=\mathbf{0} \\\implies \mathbf{x} &\in N(A^TA) \end{align}$$ Hence $N(A) \subseteq N(A^TA)$.

Dejó otra vez $\mathbf{x} \in N(A^TA)$

Así, $$\begin{align} A^TA\mathbf{x} &=\mathbf{0} \\\implies \mathbf{x}^TA^TA\mathbf{x} &=\mathbf{0} \\\implies (A\mathbf{x})^T(A\mathbf{x})&=\mathbf{0} \\\implies A\mathbf{x}&=\mathbf{0}\\\implies \mathbf{x} &\in N(A) \end{align}$$ Hence $N(A^TA) \subseteq N(A)$.

Por lo tanto $$\begin{align} N(A^TA) &= N(A)\\ \implies \dim(N(A^TA)) &= \dim(N(A))\\ \implies \text{rank}(A^TA) &= \text{rank}(A)\end{align}$ $

Answer 2

Desde operaciones elementales no cambian el rango de una matriz. Tenemos $\text{rank}(A^TA) = \text{rank}(E^TA^TAE)$, donde E es una multiplicación de varias operaciones elementales que $AE = [A_1, A_2]$, donde $A_1$ es una columna de matriz de rango completo con $\text{rank}(A_1) = \text{rank}(A)$.

Así podemos encontrar una matriz $B$ tal que $A_1B = A_2$ y $AE = [A_1, A_1P] = A_1[I, P]$.

Así $\text{rank}(E^TA^TAE) = \text{rank}(A_1[I, P])^T(A_1[I, P])$. En esta ecuación, las cuatro matrices son todas fila completa y la fila es igual a $\text{rank}(A)$, que $\text{rank}(A^TA) = \text{rank}(A)$, completar la prueba.