Intentando recordar un truco de integración

Question

En mis notas, tengo el siguiente problema.

Hallar el volumen de

(a) $x^2+y^2 \le 1$ , $x^2+z^2\le 1$ sur $\mathbb R^3$

(b) $x^2+y^2 \le 1$ , $x^2+z^2\le 1$ , $y^2+z^2\le 1$ sur $\mathbb R^3$

(c) $x^2+y^2+z^2+w^2 \le 1$ sur $\mathbb R^4$

Observa que forman interesantes figuras geométricas. La primera es la intersección de dos cilindros ortogonales, la segunda en la intersección de tres cilindros ortogonales, y la tercera es la $4$ -bola.

Por supuesto, se pueden hacer cálculos complicados. Sin embargo, copié este problema cuando me lo presentaron porque cada parte tenía una solución inteligente que no era muy computacional. En particular, recuerdo vagamente hacer la última tomando las cuatro integrales iteradas de dos en dos. No recuerdo cómo esto ayuda. Creo que tenía algo que ver con reconocer cada una como el área de un círculo.

Pregunta: ¿Cómo se pueden hallar de forma inteligente y con un cálculo mínimo los volúmenes anteriores?

Answer 1

haciendo la última tomando las cuatro integrales iteradas de dos en dos. No recuerdo cómo ayuda esto. Creo que era algo que ver con el reconocimiento de cada uno como el área de un círculo

Si las coordenadas se dividen en pares, como $(x,y)$ y $(z,w)$ los cortes del volumen en cada "espacio par" son discos. El volumen del subconjunto donde $x^2 + y^2 \in [r, r+dr]$ es $(2\pi r \hskip2pt dr)\times \pi (1-r^2)$ para que $V = \pi^2 \int_0^1 2r(1-r^2) dr = \pi^2(\frac{1}{2})$ .

Dado lo perfectamente adaptada que está la integral para el uso de $r^2$ (o $1-r^2$ ) como variable de integración, puede haber una forma mejor de decirlo que se corresponda directamente con el área de un triángulo.

Answer 2

¿Te refieres a cosas como para (por ejemplo) $x^{2}+y^{2}<1$ tomando: $$\int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{1-y^{2}}} dx=2\cdot \sqrt{1-y^{2}}$$ y luego: $$\int_{-1}^{1} 2\cdot \sqrt{1-y^{2}}dy$$

que es pulse aquí ?