Esto puede ser un unenlightening pregunta, pero no estoy seguro sobre el resultado y con la esperanza de que alguien me puede ayudar varify.
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Esta pregunta es relativa a estas tres preguntas.
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Quiero construir la relación de isomorfismo entre la Mentira Grupos $SL(2,\mathbb{C})$ $SU(2)$ . Tengo la sensación de que había algunos tal isomorfismo de grupos.
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Para empezar, sabemos que como Álgebras de Lie
$$ \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}) \simeq \mathfrak{so}(1,3) $$
y
$$ \mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{su}(2) \simeq \mathfrak{o}(4) $$
Pero también sabemos que
$$ \mathfrak{so}(n) \simeq \mathfrak{o}(n) $$
así que creo que esto nos permite escribir
$$ \mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{su}(2) \simeq \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}) $$
Esto tiene sentido, de todos modos, ya sabemos que el real álgebra de la complejización de la $\mathfrak{su}(2)$$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$, y en la adopción de la real álgebra de la complexified Mentira álgebra tenemos dos desplazamientos de copias.
Así que, la parte que aún no estoy convencido acerca de cómo llegar a partir de esta relación entre álgebras de una relación entre los grupos.
Me dijo alguien en el departamento, que
Teorema El Teorema Fundamental de la mentira Grupos: Vamos a $G_1$, $G_2$ ser Mentira grupos. A continuación, $G_1$ $G_2$ han isomorfo álgebras de Lie si y sólo si son localmente isomorfo.
Así que este es un local únicamente del estado.
Por otra parte, dijo que no es una extensión de este teorema a un mundial, la afirmación que dice que la Mentira de los grupos a nivel mundial son isomorfos si simplemente conectado.
Ahora, para nuestros dos grupos, $SL(2,\mathbb{C})$$SU(2)$, sabemos que ellos son, de hecho, simplemente conectado. Podríamos probar esta, o en su lugar, recordemos que ellos son los Universales que Abarcan Grupos de $SO(1,3)\uparrow$ $SO(3)$ respectivamente, y por tanto, por la definición que simplemente debe estar conectado.
Esto resolvería nuestro problema, y podríamos escribir
$$ SU(2) \times SU(2) \simeq SL(2,\mathbb{C})$$
y por hacer.
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Sin embargo quiero probar para verificar que la declaración, en lugar de tomar en la fe ciega (no tengo ninguna razón para dudar de ella, sino que me gustaría para 'aprender' como opuesto 'a ser conscientes de ello", si eso tiene sentido).
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Traté de mirar hacia arriba, y el evidente origen no tiene nada en un Teorema Fundamental de la Mentira Grupos, sólo un poco corto en El Tercer Teorema de la Mentira.
Algunas búsquedas traído hasta estas notas de la conferencia (en .formato pdf) de la UCLA. Se parece a lo que yo quiero, pero por desgracia está escrito en la categoría teórico de la lengua, que yo no sé nada acerca de.
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Alguien podría comprobar por mí si esto es correcto, y tal vez me apunte a un libro/ sitio web/ apuntes de clase, etc. donde podría referencia. (Nuestra biblioteca es enorme, así que de un libro en línea no tiene que ser una restricción).
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