la existencia de un minimizer funcional

Question

Mi problema es el siguiente: Muestran que la asignación de $u \rightarrow ||\nabla u||^2 + (fu,u)$ mínimo $u$$M:=\{ w \in H^1(\Omega): ||w||=1\}$ . La función de $f$$L^\infty$.

Yo no veo cómo empezar aquí. Lo que se necesita para una prueba? Gracias por cada sugerencia!

James T.

Answer 1

Supongamos que $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ es limitado y abierto. Entonces, este problema es susceptible a los ataques de los "métodos directos en el cálculo de variaciones." He aquí un esbozo de lo que debe hacer.

Primero vamos a $$E(u) = \int_\Omega |\nabla u|^2 + f |u|^2$$ y $$\lVert u\rVert_{H^1}^2 = \int_\Omega |\nabla u|^2 + |u|^2.$$ Desde $f\in L^\infty$ es fácil ver que $E$ está bien definido en $H^1$ (y, por tanto, en $M$).

El próximo show de la coercitividad de $E$$M$: $$u \in M \Rightarrow E(u) \ge \int_\Omega |\nabla u|^2 - \lVert f\rVert_{\infty} \int_\Omega |u|^2 = \lVert u\rVert_{H^1}^2 -1 -\lVert f\rVert_{\infty}.$$ En particular, esto significa $-\infty < \inf_M E < \infty$.

La próxima vamos a $\{u_n\}_{n=1}^\infty \subset M$ ser reducir a un mínimo la secuencia, es decir, elegir lo que $$u_n \in M \text{ and } E(u_n) \to \inf_{M} E \text{ as }n\to \infty.$$ Podemos muy bien suponer que el $u_n$ se eligen de manera que $|E(u_n)| \le \inf_{M} E +1$.

A partir de lo anterior, entonces sabemos que $$\lVert u_n \rVert_{H^1}^2 \le E(u_n) +1 + \lVert f\rVert_{\infty} \le \inf_{M} E +2 + \lVert f\rVert_{\infty} \text{ for all }n.$$ Esto significa que $\{u_n\}_{n=1}^\infty$ son uniformemente acotadas en $H^1$.

Ahora vamos a utilizar débil-compacto en $H^1$ (bounded secuencias han débilmente convergente subsecuencias-en última instancia, esto se desprende de Banach-Alaoglu) y el Rellich-Kantorovich teorema de compacidad ($H^1$ incrusta de forma compacta en $L^2$) para extraer una larga $u_{n_k}$, de modo que $$u_{n_k} \rightharpoonup u \text{ weakly in }H^1 \text{ and } u_{n_k} \to u \text{ strongly in }L^2.$$

A continuación, utilizamos débil inferior semicontinuity de la norma para ver que $$\int_\Omega |\nabla u|^2 \le\liminf_{k\to \infty} \int_\Omega |\nabla u_{n_k}|^2.$$ También, por la fuerte $L^2$ convergencia, $$\int_\Omega f|u_{n_k}|^2 \to \int_\Omega f|u|^2 \text{ as } k \to \infty$$ y $$1 = \int_\Omega |u_{n_k}|^2 \to \int_\Omega |u|^2 \Rightarrow u \in M.$$ La combinación, podemos ver que $u \in M$ y $$E(u) \le \liminf_{k\to \infty} E(u_{n_k}) = \inf_M E,$$ y de ahí que $$E(u) = \inf_M E.$$ Por eso, $u$ es el deseado minimizer.