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la existencia de un minimizer funcional

Mi problema es el siguiente: Muestran que la asignación de u||u||2+(fu,u) mínimo uM:={wH1(Ω):||w||=1} . La función de fL.

Yo no veo cómo empezar aquí. Lo que se necesita para una prueba? Gracias por cada sugerencia!

James T.

2voto

Shivam Soni Puntos 6

Supongamos que ΩRn es limitado y abierto. Entonces, este problema es susceptible a los ataques de los "métodos directos en el cálculo de variaciones." He aquí un esbozo de lo que debe hacer.

Primero vamos a E(u)=Ω|u|2+f|u|2 y Desde f\in L^\infty es fácil ver que E está bien definido en H^1 (y, por tanto, en M).

El próximo show de la coercitividad de EM: u \in M \Rightarrow E(u) \ge \int_\Omega |\nabla u|^2 - \lVert f\rVert_{\infty} \int_\Omega |u|^2 = \lVert u\rVert_{H^1}^2 -1 -\lVert f\rVert_{\infty}. En particular, esto significa -\infty < \inf_M E < \infty.

La próxima vamos a \{u_n\}_{n=1}^\infty \subset M ser reducir a un mínimo la secuencia, es decir, elegir lo que u_n \in M \text{ and } E(u_n) \to \inf_{M} E \text{ as }n\to \infty. Podemos muy bien suponer que el u_n se eligen de manera que |E(u_n)| \le \inf_{M} E +1.

A partir de lo anterior, entonces sabemos que \lVert u_n \rVert_{H^1}^2 \le E(u_n) +1 + \lVert f\rVert_{\infty} \le \inf_{M} E +2 + \lVert f\rVert_{\infty} \text{ for all }n. Esto significa que \{u_n\}_{n=1}^\infty son uniformemente acotadas en H^1.

Ahora vamos a utilizar débil-compacto en H^1 (bounded secuencias han débilmente convergente subsecuencias-en última instancia, esto se desprende de Banach-Alaoglu) y el Rellich-Kantorovich teorema de compacidad (H^1 incrusta de forma compacta en L^2) para extraer una larga u_{n_k}, de modo que u_{n_k} \rightharpoonup u \text{ weakly in }H^1 \text{ and } u_{n_k} \to u \text{ strongly in }L^2.

A continuación, utilizamos débil inferior semicontinuity de la norma para ver que \int_\Omega |\nabla u|^2 \le\liminf_{k\to \infty} \int_\Omega |\nabla u_{n_k}|^2. También, por la fuerte L^2 convergencia, \int_\Omega f|u_{n_k}|^2 \to \int_\Omega f|u|^2 \text{ as } k \to \infty y 1 = \int_\Omega |u_{n_k}|^2 \to \int_\Omega |u|^2 \Rightarrow u \in M. La combinación, podemos ver que u \in M y E(u) \le \liminf_{k\to \infty} E(u_{n_k}) = \inf_M E, y de ahí que E(u) = \inf_M E. Por eso, u es el deseado minimizer.

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