Límite de puntos de $\left\{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}:m,n\in{\Bbb N}\right\}$?

Question

Vamos $$S=\left\{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}:m,n\in{\Bbb N}\right\}$$ y $S'$ el conjunto de límite de puntos de $S$. Todos los resultados que he encontrado en Google o en Matemáticas.SE dan los siguientes $$ \left\{\frac1n:n\geq 1\right\}\cup\{0\}\subconjunto S'. $$

Aquí está mi pregunta: Es $$ \left\{\frac1n:n\geq 1\right\}\cup\{0\}\supset S' $$ también es cierto?

Answer 1

Yo creo que es. Ya que estamos tratando con un subconjunto de una métrica del espacio, el límite de puntos son los números reales que son el límite de una secuencia de elementos de ese conjunto, la desigualdad en el límite de sí mismo.

Dicha secuencia $(a_i)$ es de la forma $({1\over n_i} + {1\over m_i})$, por lo que tenemos dos secuencias de números naturales $(n_i)$ $(m_i)$ (no se determina únicamente por $(a_i)$, pero eso no importa).

Si uno de estos puede ser arbitrariamente grande, digamos un subsequence de $(n_i)$ va al infinito, luego de una larga de $(a_i)$ va al límite de la correspondiente subsequence de la secuencia de $({1\over m_i})$, lo que existe, porque de lo contrario la secuencia original no tiene un límite. Esto le da el límite de puntos de la forma ${1\over m}$.

Si ni crece arbitrariamente grande, sólo hay un número finito de posibilidades para $a_i = {1\over n_i} + {1\over m_i}$, por lo que el límite debe ser un elemento de la secuencia, y por definición, no es un punto límite.