Cómo se descompone $\mathbb{N}$ como esta?

Question

Posibles Duplicados:
Particiones de un conjunto infinito
Partición de N en número infinito de infinitos conjuntos disjuntos?

Es posible encontrar una familia de conjuntos $X_{i}$, $i\in\mathbb{N}$, de tal forma que:

• $\forall i$, $X_i$ es infinito,

• $X_i\cap X_j=\emptyset$ $i\neq j$ ,

• $\mathbb{N}=\bigcup_{i=1}^{\infty}X_i$

Tal vez es una pregunta fácil, pero estoy curioso acerca de la respuesta y yo no podía darse cuenta de cualquier solución.

Gracias

Answer 1

Tomar cualquier bijection $f: \mathbb N\times\mathbb N \to \mathbb N$. (Hay muchos de esos bijections, consulte el artículo de la Wikipedia función de sincronización.)

Definir $X_i=f[\mathbb N\times\{i\}]$.

Answer 2

Una explícita. $\mathbb N = \{1,2,3,4, \dots\}$. Para cada una de las $i$, vamos a $A_i$ el conjunto de los impares múltiplos de $2^{i-1}$. \begin{align} A_1 &= \{1,3,5,7,\dots\} \\ A_2 &= \{2,6,10,14,\dots\} \\ A_3&=\{4,12,20,28,\dots\} \\ &\dots \end{align}

Answer 3

Deje $p_n$ $n$- ésimo número primo. Que es $p_1=2; p_2=3; p_3=5; p_4=7$ y así sucesivamente.

Para $n>0$ deje $X_n=\{(p_n)^k\mid k\in\mathbb N\setminus\{0\}\}$.

Para $X_0$ tomar todo el resto de los números disponibles, a saber, $k\in X_0$ si y sólo si $k$ puede ser dividido por dos números primos, o si $k=1$.

Answer 4

Esto se parece mucho a la respuesta por GEdgar, pero toma en cuenta el hecho de que $0\in\Bbb N$. Definir $X_i$ para el conjunto de los números cuya representación termina con exactamente $i$ dígitos $1$ (así, en particular, $X_0$ es el conjunto de números que no terminan con un dígito $1$; obviamente es infinita (y $0\in X_0$; esta es la razón por la que no me tome dígitos $0$), y usted puede conseguir $X_i$ $X_0$ mediante la adición de $i$ dígitos $1$ al final de cada elemento). Yo era originalmente el pensamiento de la representación binaria, pero en realidad funciona para cualquier base, en particular para la base de $10$.