Licenciatura de matemáticas de la competencia problema: encontrar $\lim \limits_{n \to \infty} \int \limits^{2006}_{1385}f(nx)\, \mathrm dx$

Question

Supongamos $f\colon [0, +\infty) \to \mathbb{R}$ es una función continua y $\displaystyle \lim \limits_{x \to +\infty} f(x) = 1$. Encontrar el siguiente límite:

$$\large\displaystyle \lim \limits_{n \to \infty} \int \limits^{2006}_{1385}f(nx)\, \mathrm dx$$

Answer 1

Deje $n\in \Bbb N$ y definen $\displaystyle I_n:=\int \limits _{1385}^{2006}f(nx)\,\mathrm dx-621$.

Sostiene que la $\displaystyle I_n =\int \limits _{1385}^{2006}f(nx)-1 \,\mathrm dx$, por lo $\displaystyle |I_n|\leq \int \limits _{1385}^{2006} \left \vert f(nx)-1\right \vert \,\mathrm dx$.

Recuerdan $\lim \limits_{x\to +\infty}f(x)=1 \iff (\forall \delta >0)(\exists \varepsilon >0)(\forall \overline x\in \Bbb R)(\overline x>\varepsilon \implies |f(\overline x)-1|<\delta)$.

Tome $\delta >0$. Existe $\varepsilon >0$ tal que para todos los $\overline x>\varepsilon$ sostiene que $|f(\overline x)-1|<\delta$. En particular, para lo suficientemente grande como $n$ si $x\ge 1385$,$|f(nx)-1|<\delta$.

De ello se desprende que $\displaystyle |I_n|\leq \int \limits _{1385}^{2006}\delta \,\mathrm dx=621\delta$$\lim \limits _{n\to +\infty}\left( |I_n|\right)\leq \lim \limits _{n\to +\infty}\left(621\delta\right)=621\delta$.

Desde $\delta$ fue arbitraria número real positivo, se comprobó que $\lim \limits _{n\to +\infty}\left( |I_n|\right)$ es un límite inferior de $\{621\delta \colon\delta >0\}$, por lo $\lim \limits _{n\to +\infty}\left( |I_n|\right)\leq \inf \left(\{621\delta \colon \delta >0\} \right)=0$.

Finalmente $$\displaystyle 0=\lim \limits _{n\to +\infty}\left( |I_n|\right)=\lim \limits _{n\to +\infty}\left( I_n\right)=\lim \limits _{n\to +\infty}\left( \int \limits _{1385}^{2006}f(nx)\,\mathrm dx-621\right),$$ thus $\displaystyle \int \límites de _{1385}^{2006}f(nx)\,\mathrm dx =621.$

Answer 2

Dado $\epsilon > 0$, hay algunos $M$ que $|f(x) - 1| \leq \epsilon$$x > M$. A continuación, puede mostrar que

$\left| \int_{1385}^{2006} f(nx) dx - (2006-1385)\right| \leq (2006-1385)\epsilon$

por lo suficientemente grande $n$ (cuando se conecta la izquierda obligado de el integrando, $1385n > M$). Finalmente tome $\epsilon \to 0$.

Answer 3

Mediante la sustitución de $t=nx$, obtenemos $I_n = \int^{2006}_{1385}f(nx)dx = \frac{1}{n}\int_{1385n}^{2006n} f(t) dt$. Deje $I=2006-1385$.

Ahora vamos a $\epsilon>0$, y elija $L>0$ que si $t\ge L$,$-\frac{\epsilon}{I} < f(t)-1 < \frac{\epsilon}{I}$.

Ahora elija $N\ge \frac{L}{1385}$. Entonces si $n \ge N$$t \in [1385n,2006n]$,$-\frac{\epsilon}{I} < f(t)-1 < \frac{\epsilon}{I}$. La integración de más de $[1385n,2006n]$ y dividiendo por $n$ da $$ -\epsilon < I_n -I < \epsilon $$ De ello se desprende que $\lim_n I_n = I$.

Answer 4

Desde la continuidad no es un $\xi_ n \in (1385,2006)$ tal que $\int _{1385}^{2006}f(n x) \mathrm{d}x = (2006-1385)f(n \xi _n)$ . Desde $k_n= n \xi _n \to \infty$ hemos \begin{align}\lim _{n\to \infty}\int _{1385}^{2006}f(n x) \mathrm{d}x &=\lim _{n \to \infty} (2006-1385)f(n \xi _n)\\ &=(2006-1385)\lim _{n \to \infty} f(k_n)=(2006-1385)\end{align}

Answer 5

Sugerencia de La Integral Operador continuo, de modo que usted puede cambiar el límite de e integral. Si usted tiene $f \searrow 1$ (monótono).