Me puedo imaginar a $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$. Por ejemplo, el conjunto de bienes de la serie es parte de este espacio, como lo es cualquier infinito (pero discreto numeradas) tupla de reales.
Pero, ¿cómo puedo imaginar $\mathbb{R}^{\mathbb{Q}}$, o incluso el $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$?
A ver lo $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ parece, ayuda a tener una noción más general. Para cualquiera de los dos conjuntos de $A, B$, definimos $A^B = \{f: B \to A\}$, es decir, el conjunto de todas las funciones de$B$$A$. La motivación de esta definición es que es natural que queramos $A^B$ a consistir en "$B$-tuplas" de los elementos de $A$. ¿Cómo llegar a este tipo de cosa? Fácil! Simplemente asignar un elemento de $A$ a cada elemento de a $B$. Es decir, definir una función $f: B \to A$.
Por lo tanto, si uno quiere a la imagen de $\mathbb{R}^\mathbb{R}$, simplemente se piensa en el conjunto de todas las funciones de $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Asimismo, $\mathbb{R}^\mathbb{Q} = \{f: \mathbb{Q} \to \mathbb{R}\}$. Tenga en cuenta que desde $\mathbb{Q}$ $\mathbb{N}$ tienen la misma cardinalidad, los conjuntos de $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ $\mathbb{R}^\mathbb{Q}$ realmente son "el mismo" en cierto sentido (en particular, son isomorfos como espacios vectoriales).
Es muy difícil poner una geometría en espacios de infinitas dimensiones. Es incluso más difícil cuando queremos pensar en ellos topológicamente, que es lo que estamos tratando de hacer aquí.
A ver, como espacios vectoriales $\Bbb{R^N}$$\Bbb{R^Q}$, e incluso el $\ell_2$ o $\ell_\infty$ son todos el mismo. Todos estos son espacios vectoriales sobre $\Bbb R$ cuya dimensión es $2^{\aleph_0}$. De dónde viene la diferencia venido, entonces? Viene en la forma natural de la topología de la asociamos con el espacio vectorial. Y esto hace que un buen sentido, también. La razón de que estos no son realmente la diferencia es que todo espacio vectorial tiene una base, que es una consecuencia del axioma de elección. Y sin el axioma de elección es coherente que estos espacios son diferentes el uno del otro (bueno, no $\Bbb{R^N}$$\Bbb{R^Q}$, pero estos dos de$\ell_2$$\ell_\infty$).
Y el axioma de elección es la caja negra de la imaginación. Se garantiza la existencia de algunos de los objetos que son intangibles, para nosotros, no podemos realmente imaginar en una forma clara. Lo que significa que no podemos ver por qué los espacios vectoriales son isomorfos (como espacios vectoriales, no como normativa espacios o lo que sea). Pero las matemáticas muestra que ellos son, y eso está bien.
Pero lo $\Bbb{R^R}$? Este conjunto es inimaginablemente grande que la de $\Bbb R$ en su cardinalidad. Así que es diferente de los otros espacios vectoriales que he mencionado en el mérito de su tamaño por sí solo.
Yo no te puedo decir cómo imaginar estos objetos. Me pueden, en cierta medida, ven en mi cabeza, pero esas son cosas que yo nunca podría haber descrito con palabras. En su lugar, en un determinado tamaño, la estructura que podemos poner en objetos debe ser tratado de acuerdo con una escala más pequeña cuando se acerca a ellos. Eso significa que recoger un par de objetos y tratando de tamaño en un número finito de dimensiones subespacio. Y trabajamos mucho con las definiciones.
La gente pone demasiado énfasis en "ver las cosas". En matemáticas no "ver las cosas" en primer lugar. Se deben liberarse de las limitaciones de su experiencia física, trabajando de cerca con las definiciones. Después de que has entendido las definiciones, a continuación, empezar a tener una imagen en tu cabeza. Y esa foto es tuya y solamente tuya, porque no se puede transferir de nuevo al mundo real. Pero usted puede transferir las definiciones y la utilización de comunicar sus ideas y entendimiento con otros matemáticos que tengan su propia imagen en sus propias cabezas.
No sé si esto ayuda a visualizar lo $\mathbb{R}^ \mathbb{R}$ parece, pero aquí es ¿cómo puedo visualizar un elemento de espacio vectorial: me imagino a un número de línea, y que se adjunta a cada punto, además de la etiqueta de identificación del punto, hay una segunda etiqueta que contenga otro número. Por supuesto, los puntos en la recta numérica se denso, por lo que las etiquetas están todas en la parte superior de uno al otro y que no se ven claramente, pero en mi visualización que puedes ver más y más etiquetas como "zoom in" en un pequeño intervalo.
Un "doblemente marcada" número de línea como esta es lo más cercano que puedo llegar a imaginar un "innumerables tupla". Así que, a continuación, $\mathbb{R}^ \mathbb{R}$ es el conjunto de todos los doblemente marcada número de líneas.
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