normal lote de conjunto de nivel

Question

Deje $M$ ser una de Riemann colector y $S \subset M$ un nivel regular de una función suave $f:M\rightarrow \mathbb{R}^k$. ¿Cómo puedo mostrar que la normal en paquete de $S$ es trivial?

Si $k=1$ $\text{grad}f$ es un marco global para $NS$ pero no estoy seguro de cómo mostrar formalmente para el caso general. Gracias!

Answer 1

Si $S=f^{-1}(x)$ donde $f:M\to N$ $x$ es un valor regular, a continuación, $f_*:T_yM\to T_xN$ es (por la definición de regular valor) surjective, $T_yS$ es el núcleo de $f_*$, por lo tanto $f_*$ es un isomorfismo de $(T_yS)^\perp\to T_xN$, es decir, (dejando $y$ variar) da un isomorfismo $(TS)^\perp\cong S\times T_xN$.

Answer 2

Me gustaría defender el punto de vista de que esta trivialidad resultado para el normal bundle tiene en realidad muy poco que ver con la de riemann estructura de $M$.

Como usuario 8268 señala, $f_{\ast y}: T_{\ast y}M\to T_{\ast f(y)}N$ es surjective para cada una de las $y\in M$ y esto se traduce en la secuencia exacta de vector de paquetes en $S$ $$0\to T(S) \to TM_{|S}\to f^\ast T\mathbb (R^k)_{|S} \to 0$$ Ahora, el punto crucial es que el auténtico normal paquete de $S$ $M$ es, por definición, el cociente bundle $N_{S/M}=T(M)_{|S}/TS$. Este auténtico normal paquete es aquí isomorfo a $ f^\ast T\mathbb (R^k)_{|S}$, por lo tanto triviales como se solicitó.

Y ¿qué tiene esto que ver con la estructura de riemann? Es sólo que podemos, si lo deseamos, reemplace el genuino normal bundle, que es un cociente de $T(M)_{|S}$ por el complemento ortogonal $T(N)^\perp$ $T(N)$ dentro $T(M)_{|S}$, que es un subbundle de $T(M)_{|S}$, isomorfo a $N_{S/M}$. El éxito de esta visión de la normal en su conjunto, en el caso de riemann es que todo el mundo prefiere subespacios para el cociente de los espacios, pero tenemos que tener en cuenta que lo que he llamado el genuino normal paquete es totalmente canónica, mientras que la más concreta isomorfo de riemann normal paquete varía con la estructura de riemann que se imponen en los $M$.