Claramente un número $n$ no se puede dividir $2^{n}-1$, pero sobre impar ? Si $n$ es una extraña prime esto no puede ocurrir ni ya que por un extraño prime $p$ tenemos $2^p\equiv 2\pmod p$ $p$ no se puede dividir $2^p-1$ pero lo que sobre el caso general ($i.e~n$ un número impar mayor que 1) ?
Respuestas
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La única (impar) valor de $n$ que $n \mid 2^n - 1$$n=1$.
Supongamos que por el bien de la contradicción que $n>1$ es tal que $n \mid 2^n - 1$ y deje $p$ ser el menor divisor primo de $n$. Luego tenemos a $p \mid n \mid 2^n - 1$ o $2^{n} \equiv 1 \mod p$. También tenemos $2^{p-1} \equiv 1 \mod p$ por Fermat poco teorema. De ello se desprende que $2^{\gcd(n,p-1)} \equiv 1 \mod p$. Tenga en cuenta que $n$ $p-1$ son coprime desde $p$ es el menor divisor primo de $n$. Por lo tanto $2^1 \equiv 1 \mod p$, contradicción.
David HAust
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Sugerencia $ $ mod $\rm\color{#c00}{least}$ primer $\,p\mid n\!:\ 2^n \equiv 1\Rightarrow\, 2\,$ tiene fin $\,k\mid n\,\color{#c00}{\Rightarrow}\ k \ge$ $\,p\,\Rightarrow\, 2^{p-1}\not\equiv 1\,\Rightarrow\!\Leftarrow$
Nota $ $ Idea Clave es: $ $ si $\ a\not\equiv 1,\,\ a^n\equiv 1\,$, entonces el orden de $\,a\,$ $\ge$ menos en el primer $\,p\mid n.$
