¿Qué es un cohomology que no se definen a partir de una cochain complejo?

Question

Según Wikipedia:

En matemáticas, específicamente en la teoría de la homología y la topología algebraica, cohomology es un término general para una secuencia de abelian grupos asociados a un espacio topológico, a menudo se definen a partir de una cochain complejo.

(el énfasis es mío)

Cuando leí "define a menudo", supongo que para decir "no siempre". He visto que Čech cohomology se definen a partir de una cochain complejo. de Rham cohomology de la misma. He comprobado un par más y todo se define a partir de una cochain complejo. Entonces, ¿qué es un ejemplo de un cohomology que NO se definen a partir de una cochain complejo?

Answer 1

Wikipedia está hablando generalizada cohomology teorías. Cumplen un montón de axiomas formalmente similar a lo que por ejemplo singular cohomology satisface. Pero el llamado extraordinario cohomology teorías (K-teoría, cohomotopy, cobordism y así sucesivamente), no provienen de los complejos de la cadena. En efecto, por el teorema de Burdick--Conner--Floyd, en cierto sentido, si lo hicieron "vienen de los complejos de la cadena", entonces van a ser dada por un producto de ordinario cohomology teorías.

R. O. Burdick, P. E. Conner, y E. E. Floyd. "La cadena de las teorías y sus derivados homología". En: Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 19 (1968), pp 1115-1118. issn: 0002-9939.

A grandes rasgos, el teorema es que si usted tiene un generalizada cohomology teoría de la $h$ dada por el cohomology de un (functorial en pares) cochain complejo, y de tal manera que el largo de la secuencia exacta viene de la larga secuencia exacta de los que cochain complejo, $$h^n(X,A) = \sum_{i+j=n} H^i(X,A; h^j(\text{point}))$ $ es realmente dada por singular cohomology con diferentes coeficientes.

Pero el énfasis aquí está en la "cohomology de la teoría". En un entorno diferente (álgebra homológica), "cohomology significa" siempre "cohomology de un cochain complejo". Honestamente, el artículo de la Wikipedia probablemente debería llamarse algo como "Cohomology teorías" o "Cohomology (topología)" porque de eso es de lo que se trata realmente.

Answer 2

Hay varios generalizada cohomology teorías que normalmente no se describe en términos de cochain complejos, tal vez el ejemplo más sencillo ser topológica de la K-teoría. Hay una técnica precisa en qué sentido topológico K-teoría no puede ser descrito en términos de cochain complejos," pero no es fácil de explicar.

Answer 3

Nuestra topología profesor, Prof. Michael Weiss, que se define en sus conferencias una homología de la teoría de espacios topológicos (que creo que se mencionan a ser el equivalente a Čech cohomology) por el medio de algo que él llama la asignación de ciclos. Estos son elementos de la sheafification de la libre abelian grupo de continua mapas entre dos espacios topológicos. Homología y cohomology se definen como los grupos de asignación de ciclos, desde y hacia las esferas respectivamente, modulo homotopy y "constante" asignación de ciclos. No hay complejos de la cadena de involucrados.

Accidentalmente, también hay una pregunta aquí en matemáticas stackexchange que da un breve resumen de la construcción, es decir, aquí. El interrogador se refiere también a las mismas lecturas que me refiero.

Las notas de la conferencia (en inglés) de su topología de conferencias en 2013/2014 y 2014/2015 en la Universidad de Münster encontrar en su página web, a dar esta definición de homología en el capítulo 5, sección 3. La asignación de los ciclos se introdujo en el capítulo 4. Weiss llama homología sin simplices en contraste con la tradición de la definición de homología a través de simplices (y los complejos de la cadena), ya que de Poincaré.

A mi conocimiento, la construcción es debido a Weiss sí mismo.