De compleja solución a las soluciones sobre campos finitos

Question

Hay varias maneras (Hilbert Nullstellensatz, modelo de la teoría, la trascendencia de las bases, etc.) para probar el siguiente (increíble!) resultado:

Si $f_1,...,f_r$ es un sistema de polinomios en $n$ variables con coeficientes enteros, entonces se tiene una solución con las coordenadas en $\mathbb{C}$ si y sólo si tiene soluciones con las coordenadas en $\overline{\mathbb{F}_p}$ para casi todos los números primos $p$.

Pregunta: ¿Qué son interesantes, ejemplos explícitos de la implicación que los rendimientos de soluciones a través de campos finitos de una solución compleja? Hay un sistema de polinomios, donde los números primos $p$ tal forma que hay una solución a través de $\overline{\mathbb{F}_p}$ no son conocidos, y su existencia sólo es conocida por el resumen resultado anterior? Yo soy no interesado en polinomios que de alguna manera artifically codificar algunos indecidible declaraciones de ZFC ;).

Answer 1

Yo sostengo que no hay manera razonable de ir en la dirección que desee. Por ejemplo, cuando se $r = 1$ el único polinomio $f(x) = x^2 + 1$ tiene sus raíces en la $\mathbb{C}$ y raíces en $\overline{ \mathbb{F}_p }$ todos los $p$, pero para el último raíces de la mitad de las veces se encuentran en $\mathbb{F}_p$ y la mitad de las veces se encuentran en $\mathbb{F}_{p^2}$ y no veo ninguna forma razonable de anotar el uso de las raíces sobre $\mathbb{C}$ de alguna manera.

En la otra dirección, creo que no es posible obtener más explícita que la siguiente: si el $f_i$ tiene una solución a través de casi todos los $\overline{ \mathbb{F}_p }$, entonces tienen una solución en el ultraproduct $\prod \overline{ \mathbb{F}_p }/U$ donde $U$ es un no-director de ultrafilter sobre los números primos. Este ultraproduct es algebraicamente cerrado campo de característica cero con cardinalidad del continuo, por lo tanto es abstracta isomorfo a $\mathbb{C}$. Tenga en cuenta que hay dos no canónica de opciones aquí, que (creo) son generalmente imposibles de hacer sin alguna forma de CA y tanto de lo que (creo) son inevitables: la elección de un no-director de ultrafilter, entonces la elección de un resumen isomorfismo con $\mathbb{C}$.