¿Por qué necesitamos espacios de Hilbert de dimensiones infinitas en física?

Question

Estoy buscando una forma sencilla de entender por qué necesitamos espacios de Hilbert de dimensiones infinitas en física, y cuándo son necesarios exactamente: ¿en física clásica, cuántica o cuántica relativista (es decir, cuando se pueden crear y destruir partículas)?

Me gustaría entender tanto la interpretación física como el punto de vista matemático - ¿qué es exactamente lo que queda mal definido en el formalismo matemático - es la relación de conmutación para la mecánica cuántica o algo más?

Answer 1

Las relaciones de conmutación canónicas no están bien definidas en los espacios de Hilbert de dimensión finita. La prescripción canónica es

$$ [x,p] = \mathrm{i}\hbar\mathbf{1}$$

y, recordando que la traza de un conmutador debe desaparecer, pero la traza de la identidad es la dimensión del espacio si éste es finito-dimensional, concluimos que tenemos un espacio para el que la traza de la identidad no está bien definida, que es entonces necesariamente infinito-dimensional.

Answer 2

Los espacios de Hilbert de dimensión infinita son necesarios, en el caso mínimo, para describir la mecánica cuántica no relativista de una partícula masiva con al menos un único grado de libertad real, y son necesarios para permitir que la teoría describa, en general, estados con un nivel de detalle arbitrariamente alto y en posiciones arbitrariamente lejanas.

Sin embargo, para cualquier experimento dado, siempre se podrán encontrar buenas aproximaciones a la dinámica que utilicen sólo un espacio de Hilbert finito, porque cualquier experimento dado implicará una dinámica sobre una porción finita del espacio y a escalas de longitud finitamente pequeñas. La forma más fácil de hacerlo es mediante una discretización directa de la posición, pero también se podría hacer, por ejemplo, mediante ( enchufe desvergonzado ) truncando la base fotónica de un oscilador armónico.

Ahora bien, estos esquemas se llaman legítimamente "truncados", porque una vez que se trunca la dimensión requerida por la teoría completa ya no se puede recuperar la invariancia de traslación y de escala que se requiere para la generalidad completa.

Además, como se ha señaló en cualquier dimensión finita las relaciones de conmutación canónicas $[x,p]=i\hbar$ no son realizables, porque en dimensión finita $x$ y $p$ son Operadores de trazabilidad y la traza de su conmutador debe desaparecer. Es importante darse cuenta, sin embargo, de que esto no es fatal: todavía se pueden obtener relaciones de conmutación como $[x,p]=i\hbar\left[1-(\dim\mathcal H)|\text u\text u|\right]$ , donde $|\text u$ es algún estado que es muy poco probable que sea alcanzado por su dinámica.

Además, es perfectamente posible tener relaciones de conmutación interesantes en dimensión finita (como las del momento angular), y tener relaciones de conmutación cuasi-canónicas en dimensiones finitas que, sin embargo, se aproximan al límite clásico $\{x,p\}=1$ como $\hbar\to0$ siempre que se permita que su dimensión sea arbitrariamente alta para la dinámica dada.

Sin embargo, todos estos son esquemas feos y artificiales, y hay muy pocas razones para preferirlos a la perfectamente razonable teoría estándar de Schrödinger, que es la razón por la que utilizamos espacios de Hilbert de dimensiones infinitas en la mecánica cuántica cotidiana.

Answer 3

Los espacios de Hilbert, en general, pueden tener bases de cardinalidad arbitraria. Pero el que se utiliza específicamente en QM es, por construcción, isomorfo al espacio L2, el espacio de las funciones cuadradas integrables, y este espacio tiene un número infinito (pero discreto) de dimensiones. La razón por la que se quieren funciones integrables al cuadrado es que se quiere que las probabilidades calculadas a partir de la función de onda sean finitas. Cuando decimos que los vectores de estado deben ser "integrables al cuadrado", esto significa, estrictamente hablando, que $\int^{\infty}_{-\infty} \overline{\psi}\psi dx $ es finito.

Answer 4

Tal vez no sea relevante para ti ahora, pero lo será para alguien. La relación de conmutación $[x,p]=i\hbar$ produce el álgebra de Heisenberg, y se puede ver fácilmente que esta álgebra es solucionable . A continuación, tiene la Teorema de Lie-Kolchin que dice que toda representación irreducible de dimensión finita de un álgebra soluble tiene que ser unidimensional.

Esto significa que si sólo tienes representaciones unidimensionales, todo se conmutaría, y no tendrías nada, por lo que la única otra opción es una representación dimensional infinita.

Esta explicación es quizá más abstracta, pero me parece fundamental.

Answer 5

Se necesita un espacio de Hilbert de dimensiones infinitas para representar una función de onda de cualquier observable continuo (como la posición, por ejemplo).

Las funciones de onda asignan números reales, que corresponden a observables clásicos como el espín o la posición, a coeficientes complejos de algún conjunto de kets de base en un espacio de Hilbert. Esa base y esos coeficientes definen un ket que puede identificarse con la función de onda, se llama "estado cuántico" del sistema y puede utilizarse en los cálculos.

¿Cómo se asigna cada número real a un coeficiente complejo? Cada ket de la base es un vector propio de algún observable. El número real es el valor propio correspondiente.

De esto se deduce que una base en un espacio de Hilbert de dimensión finita sólo puede utilizarse para definir un ket correspondiente a una función de onda que está definida sólo para valores propios específicos, lo que podría llamarse una función de onda "discreta".

Por ejemplo, se podría utilizar una base bidimensional para un sistema que describa el espín de una partícula, con dos kets de base, |arriba> y |abajo>. La función de onda, psi(), sólo se definiría para dos valores, +1 y -1, que son los valores propios correspondientes a |arriba> y |abajo>. psi(+1) * psi*(+1) le daría la probabilidad de que la partícula estuviera en el estado "arriba", y psi(-1) * psi*(-1) la probabilidad de que estuviera en el estado "abajo".

Si |psi> es el ket identificado con la función de onda psi(), entonces <arriba|psi> da el mismo resultado, y tiene la misma interpretación, que psi(+1) y <abajo|psi> corresponde a psi(-1) de la misma manera.

psi(3) o psi(0,6) no tienen ningún sentido aquí porque no hay tales observables - sólo hay dos estados observables en este sistema, y por lo tanto una base propia en un espacio de Hilbert de 2 dimensiones con dos valores propios se puede utilizar para representarlo.

Pero un observable como la posición es continuo: podemos preguntar cuál es la probabilidad de que la posición sea 0,6, o 0,601, etc. Así que necesitamos una función de onda definida para cada número real, cada uno de los cuales debe ser el valor propio de un vector propio en una base de un espacio de Hilbert. Como hay infinitos valores posibles de posición, necesitamos infinitos vectores propios y un espacio de Hilbert de infinitas dimensiones.

Todo esto se explica en este excelente libro por Leonard Susskind.