Sucesión convergente a diferentes límites

Question

En un espacio métrico, es posible encontrar una secuencia que converge a dos límites diferentes wrt a dos diferentes métricas?

Obviamente las métricas no pueden ser equivalentes.

Answer 1

Con dos diferentes métricas? Sí, obviamente. (Pero con dos diferentes métricas es no el mismo espacio métrico, por definición: el concepto de un espacio métrico incluye métrica que estamos usando).

Tomar, por ejemplo, $\mathbb R$ respectivamente con el estándar métrico, y la métrica $$ d_2(a,b)=|f(a)-f(b)| \quad\text{where }f(x)=\begin{cases} \pi & \text{if }x=0 \\ 0 & \text{if }x=\pi \\ x & \text{otherwise} \end{cases} $$

A continuación, $a_n=\frac1n$ converge a $0$ en la métrica usual pero a $\pi$ $d_2$ métrica.