¿Se trata de un $p$ -forma de comer $p$ -vectores o $p$ ¿número de vectores?

Question

Una forma bilineal es otro término para una $2$ -forma. Así que come $2$ vectores distintos o un único $2$ -¿Vector?

Answer 1

Para profundizar en el comentario de Zhen Lin: cualquier punto de vista de una forma bilineal está bien debido a la propiedad universal del producto tensorial .

Dado un espacio vectorial $V$ con campo de escalares $k$ Normalmente he visto una forma bilineal definida como un mapa bilineal $B : V \times V \to k$ , por lo que una función que se come dos vectores como en su primera definición.

Sin embargo, por la propiedad universal del producto tensorial, existe un único mapa lineal $\tilde{B} : V \otimes_k V \to k$ tal que $B = \tilde{B} \circ \pi$ donde $\pi$ es el mapa $\pi : V \times V \to V \otimes_k V$ , $(v_1, v_2) \mapsto v_1 \otimes v_2$ . Así que $\tilde{B}$ come $2$ -vectores, como en su segunda definición.

Dado que esta asociación $B \leftrightarrow \tilde{B}$ es una biyección, podemos en cierto modo identificar $B$ y $\tilde{B}$ y por lo tanto son libres de pensar en una forma bilineal como un mapa $V \times V \to k$ o $V \otimes_k V \to k$ . Para más información, véase el apartado 10.4 de Dummit y Foote.

Answer 2

Una forma bilineal en un espacio vectorial $V$ sobre un campo $\Bbb{F}$ es un mapa bilineal $B:V\times V\to \Bbb{F}$ que come un par de vectores para dar un escalar según $(v,w)\mapsto B(v,w)$ . Esto se puede generalizar.