Permítanme tratar de dar una justa respuesta completa, que cubre aquellos casos que @Jyrki no ha; y esperemos que esto no va a resultar demasiado largo.
Para $\mathbb{C}$, cualquier grupo de Galois es trivial, dado que el campo algebraicamente cerrado. Para $\mathbb{R}$, la única que no sea trivial grupo de Galois es $C_2$, y como sabemos, el polinomio $X^2+1$ va a obtener la extensión. Para ${\mathbb{F}}_{11}$, todos los grupos de Galois son cíclicos, por lo que el $C_2$ $C_5$ son posibles, pero los otros tres no son; y @Jyrki ha cubierto los dos casos posibles. Los dos campos restantes se $\mathbb{Q}$ y el Gaussiano números de ${\mathbb{Q}}(i)$, que voy a llamar a $k$ a partir de aquí.
Para $\mathbb{Q}$, todas las posibilidades de ocurrir, y como todos sabemos, un uso $X^2+1$ una extensión con grupo de Galois $C_2$; este nuevo campo es nuestro $k$. Para $C_2\times C_2$, usted puede tomar cualquier "biquadratic campo" compositum de dos extensiones cuadráticas. Aunque es muy especial, yo elijo como ejemplo el campo de ${\mathbb{Q}}(\sqrt{2},i)$, y dado que va a ser importante para nosotros más tarde, puedo elegir el nombre de es $E$. El grupo de Galois consiste en la identidad, el complejo de la conjugación (dejando $\sqrt2$ fijo), y los dos automorfismos que envían $\sqrt2$$-\sqrt2$: uno dejando $i$ fijo, el otro envío de $i$$-i$. Por favor, observe que $(1+i)/\sqrt2$ $E$ y es una primitiva de la octava de la raíz de la unidad. Voy a llamar a este número complejo $\zeta$, y observar que es un elemento primitivo de $E$, polinomio irreducible sobre$\mathbb{Q}$$X^4+1$, el octavo cyclotomic polinomio. Yo la uso sin prueba el hecho de que $\{1,\zeta,\zeta^2,\zeta^3\}$ forman la base para la (algebraica) de los enteros de $E$, es decir, un entero algebraico en $E$ $\mathbb{Z}$- combinación lineal de los poderes de $\zeta$.
Continuando con $\mathbb{Q}$, el resto de grupos $S_3$ $D_4$ fácil: tomar la raíz cúbica de cualquier squarefree entero positivo, decir $\alpha$, a raíz de $X^3-m$, y la división de campo tiene que contener la $\omega=(-1+\sqrt{-3})/2$, una primitiva raíz cúbica de la unidad. No voy a detallar la acción del grupo de Galois, ni escribir polinomio mínimo de a $\alpha+\omega$, que será un elemento primitivo. Para el grupo $D_4$, el diedro grupo de orden ocho, es casi el mismo. Toma un entero $m$ que no es ni una plaza, ni la negativa de un cuadrado, y se acuestan $\alpha=\root{4}\of{m}$. De nuevo la extensión no es normal, pero la normal de cierre debe contener $i$. Dos automorfismos del campo se $\sigma\colon \{i\mapsto-i, \alpha\mapsto\alpha\}$$\tau\colon\{i\mapsto-i, \alpha\mapsto i\alpha\}$. Tenga en cuenta que $\tau\circ\sigma$ niveles $i$ fijo, pero envía a $\alpha$$i\alpha$, por lo que es un automorphism de período de cuatro. Esto es justo lo que necesitamos para diedro de orden ocho. Más detalles de este caso lo dejo como ejercicio.
El caso más interesante es nuestro campo de $k$ de Gauss números. Casi todo va por $\mathbb{Q}$, excepto el problema de encontrar una extensión cuyo grupo de Galois es $D_4$. He encontrado un ejemplo de muy especial en la naturaleza, pero debe haber muchos más. El problema, como ves, es que si solo tocan la raíz cuarta de algo, usted obtendrá una extensión cíclica de grado cuatro, ya normal. Kummer
La teoría nos dice que si la característica no divide $m$, y si el $m$-th raíces de la unidad, estamos en el campo base, a continuación, la contigüidad de la $m$-ésima raíz de un elemento, decir $u$, da una extensión normal, de grado $m'$ dividiendo $m$, y con cíclico grupo de Galois. En particular, si $m$$4$, e $u$ no es un cuadrado, luego de obtener una extensión cíclica de grado cuatro.
Así, el estándar de primaria estrategia para la búsqueda de una $D_4$-extensión de la $\mathbb{Q}$ no trabajo para el campo base $k$, debido a $i$ ya está ahí. La naturaleza de la diedro grupo es que tiene un cíclica normal subgrupo $C$ de orden cuatro, el índice de dos, de modo que una extensión de $k$ grupo $D_4$ debe empezar con una extensión cuadrática de $k$, y a continuación, saltar a un ciclo cuarto grado de extensión de que: $k\subset ?\subset L$, donde el grupo de ? más de $k$$D_4/C$, y el grupo de $L$ más ? es $C$. Mi elección ? es nuestro campo de $E$, conseguido, colindando $\sqrt2$$k$; recordemos que $E$ es el campo de la octava raíces de la unidad. Y el rectangulares elemento de $E$ cuya cuarta raíz voy a acostarse a conseguir $L$ es la unidad de $u=1+\sqrt2$. Vamos a llamar a $\beta=\root{4}\of{u}$, por lo que su polinomio mínimo de más de $E$ es simplemente $X^4-u$. Ahora $E(u)$ es lo normal en el $E$, pero $k(u)$ no es normal en el $k$. De hecho, el normal, el cierre debe al menos contener una raíz cuarta de $\overline u-1-\sqrt2$. Pero si $X^4-u$ es el polinomio mínimo de a$\beta$$e$, seguramente $(X^4-u)(X^4-\overline u)$ debe ser el polinomio mínimo de a$\beta$$k$. Esto multiplica a $X^8-2X^4-1=f(X)$. Te voy a mostrar que la contigüidad de una de las raíces de este polinomio a $k$ trae a lo largo de todas las otras raíces, por lo que tenemos una extensión normal de grado ocho, y yo voy a mostrar cómo el grupo de Galois de los actos.
Considere la posibilidad de una raíz de $f$. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que a es una raíz del factor de $X^4-(1+\sqrt2)$, incluso suponen que es la única raíz real positiva $\beta$ de este, si te gusta. Llame a $L_0=k(\beta)$. Con $\beta$, en nuestro campo,$L_0$, tenemos a su cuarto poder,$u=1+\sqrt2$, y así tenemos el $\sqrt2$, y debido a $i$ está en el campo base, también tenemos $\zeta$$L_0$. Ese fue nuestro octavo de la raíz de la unidad en el primer cuadrante. En consecuencia, nos encontramos con $\zeta/\beta$$L_0$. Pero, ¿qué es la cuarta potencia de este? Es $-1/u=\overline u$. Por lo $\zeta/\beta$ es una raíz de la otro factor de $f$. Y desde $i$$L_0$, Tenemos todas las raíces de ambos factores de $f$. Es decir, $L_0$ es nuestra extensión normal de $k$ de grado ocho. El grupo de Galois? Debo especificar dos involuciones cuya composición es de periodo de cuatro. Fácil: $\sigma$ envía $\beta$$\zeta/\beta$, e $\tau$ envía $\beta$$i\zeta/\beta$.
