Deje $G$ ser un grupo finito con $|G|>2$. Demostrar que Aut($G$) contiene al menos dos elementos.
Sabemos que Aut($G$) contiene la identidad de la función $f: G \to G: x \mapsto x$.
Si $G$ no es abelian, ver el$g : G \to G: x \mapsto gxg^{-1}$$g\neq e$. Este es un interior automorphism desigual a la función identidad, por lo que tenemos, al menos, dos elementos en Aut($G$).
Ahora suponga $G$ es abelian. A continuación, el único interior automorphism es la función identidad. Ahora mira en la asignación de $\varphi: G \to G : x \mapsto x^{-1}$. Este es un homomorphism porque $\varphi (xy) = (xy)^{-1} = y^{-1} x^{-1} = x^{-1} y^{-1} = \varphi (x) \varphi (y)$. Aquí utilizamos el hecho de que $G$ es abelian. Esta asignación es claramente bijective, y por lo tanto una automorphism.
Este automorphism es desigual a la identidad de la función sólo si existe un elemento $x \in G$ tal que $x \neq x^{-1}$. En otras palabras, debe ser un elemento de orden mayor que $2$.
Ahora suponga $G$ es abelian y cada una de las no-identidad elemento tiene orden de $2$. Por Cauchy teorema sabemos que el grupo debe tener un orden $2^n$.
Me quedé atrapado en este punto. He mirado en este otro post, $|G|>2$ implica $G$ no trivial automorphism, pero no sé lo que hacen en la última parte (cuando empiezan a hablar sobre espacios vectoriales). Cómo el caso de que resulte ser terminado, sin necesidad de recurrir a espacios vectoriales si es posible?
Gracias de antemano
Respuestas
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El motivo por el que el último caso se hace por separado es porque en ese caso no podemos describir un no-trivial automorphism con operaciones intrínsecas del grupo. En la no-abelian caso podríamos utilizar un interior automorphism, y en otros abelian de los casos podemos utilizar la negación. Utilizando el vector de estructura de espacio es la "mejor opción" en el sentido de que entonces todo el mundo va a aceptar de inmediato la multiplicación por una matriz invertible como un automorphism.
Este último caso es acerca de los grupos que se isomorfo a un producto directo de un número finito de copias de $C_2$ $$ G=C_2\times C_2\times\cdots C_2. $$ Cualquier permutaciones de los componentes es, obviamente, un automorphism. Pero demostrando que ese grupo tiene este producto directo de la estructura, mientras que no es muy difícil, es algo que el ms responden no quería hacer, porque es mucho más conveniente observar que un número finito de abelian grupo donde todos los no-trivial elementos de orden dos es un espacio vectorial sobre $GF(2)$.
He aquí otra manera de hacer este paso. Nos inductivamente encontrar elementos $x_1,x_2,\ldots,x_\ell\in G$ que en todos los pasos de $x_k$ no está en el subgrupo generado por a $x_1,x_2,\ldots,x_{k-1}$. Debido a $G$ es finito, que en algún momento se han agotado todos los de $G$, y por lo tanto $G=\langle x_1,x_2,\ldots,x_\ell\rangle$. El siniestro se que $$ G=\langle x_1\rangle\times\langle x_2\rangle\times\cdots\langle x\ell\rangle $$ es una manera de escribir $G$ como un producto directo de los subgrupos de orden dos. Esto es más o menos evidente por la construcción.
Pero se debe notar que este es esencialmente el mismo argumento prueba de que un finitely generado espacio vectorial sobre un campo tiene un número finito de base.
La construcción de la OP del trabajo, consideramos Abelian grupos, donde cada elemento de identidad es de orden 2.
Deje $\{g_1, g_2, \ldots g_n \}$ ser cualquier mínimo la generación de conjunto del grupo. Desde $|G| > 2 $, lo $n\geq 2$.
Cada elemento del grupo a $g$ puede ser el único escrito como $\prod_{i \in S_g} g_i$. (Los exponentes no son necesarios, puesto que cada elemento tiene orden 2.)
A continuación, considere el mapa que reemplaza $g_1$ $g_2$ y viceversa.
Demostrar que esta es una automorphism.
