Es la hipérbola isomorfo al círculo?

Question

Es el anillo de $B=\mathbb{C}[x,y]/(xy-1)$ isomorfo con $C=\mathbb{C}[x,y]/(x^2+y^2-1)$? Yo creo que no, pero todos mis tryings dejéis de probar el hecho. Son en realidad isomorfo así que puede intentar demostrar que. Gracias

Answer 1

Sí, son isomorfos.

Si $u = x+yi$, e $v = x-yi$ $$\mathbb{C}[x,y]/(x^2+y^2-1)\simeq\mathbb C[u,v]/(uv-1).$$

Answer 2

Esto puede ser visto como una cuestión en la geometría algebraica, sino también como una cuestión de geometría proyectiva. Tanto la hipérbola y el círculo son las secciones cónicas, y se projectively equivalente. En coordenadas homogéneas esto se deduce del hecho de que cualquier par de degenerada indefinido cuadráticas formas son equivalentes.