Polares a Coordenadas Rectangulares

Question

Problema: Transformar la siguiente ecuación en polares a coordenadas rectangulares. \begin{eqnarray*} \rho &=& \frac{2}{1 - \cos \theta} \\ \end{eqnarray*}

Respuesta:

Recordar que: \begin{eqnarray*} \rho &=& {(x^2+y^2)} ^ {\frac{1}{2}} \\ \cos \theta &=& \frac{x}{\rho} =\frac{x}{(x^2+y^2)^{\frac{1}{2}}} \\ \end{eqnarray*} Esto nos da: \begin{eqnarray*} {(x^2+y^2)}^{\frac{1}{2}} &=& \frac{2}{1 - \frac{x}{(x^2+y^2)^{\frac{1}{2}}}} \\ 2 &=& {(x^2+y^2)^\frac{1}{2}} - x \\ x + 2 &=& (x^2+y^2)^\frac{1}{2} \\ (x + 2)^2 &=& x^2+y^2 \\ x^2 + 4x + 4 &=& x^2+y^2 \\ 4x + 4 &=& y^2 \\ y^2 &=& 4x + 4 \end{eqnarray*} Sin embargo, el libro pone: \begin{eqnarray*} y^2 &=& 4(x + 2) \end{eqnarray*} Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

Vamos a ver con $\theta=60^\circ$, de modo que $\rho=4$. Entonces: $x=2$, $y=2\sqrt3$, $y^2=12$. Pero $4(x+2)=16$$4x+4=12$. Por lo que están a la derecha y el libro es malo.