Cómo dividir por una matriz

Question

Encontré una pregunta en un examen antiguo, donde la función $\phi(z) := \frac{\exp(z) - 1}{z}$ se da.

Ahora evaluamos $\phi(\mathbf{A})$ . Pero, ¿cómo puedo dividir por una matriz?

Ya pensé en tomar la inversa, pero ¿cómo hago para saber por qué lado tengo que multiplicar la inversa?

Answer 1

Nótese que la aplicación de la función a una matriz se entiende en sentido de serie, es decir, si $$ \phi(z) = c_0 + c_1 z + c_2 z^2 + \dots $$ entonces $$ \phi(\mathbf A) = c_0 \mathbf I + c_1 \mathbf A + c_2 \mathbf A^2 + \dots. $$ Observe que $$ \phi(z) = \frac{e^z - 1}{z} = 1 + \frac{z}{2} + \frac{z^2}{6} + \dots = \sum_{k = 1}^\infty \frac{z^{k-1}}{k!}. $$ Además, a tu pregunta, dividir por una matriz es multiplicar por su inversa, pero eso depende de la conmutatividad, básicamente hay dos formas de dividir en una matriz: por la derecha y por la izquierda. Por suerte, una matriz conmuta con cualquier potencia de sí misma, así que no hay diferencia en qué lado escribes la $\mathbf A^{-1}$ : $$ \phi(\mathbf A) = \mathbf A^{-1} (e^\mathbf{A} - \mathbf I). $$

Answer 2

Tenga en cuenta que como $$ \exp(A)=I+A+\frac1{2!}A^2+\frac1{3!}A^3+\cdots $$ entonces $A$ y $\exp(A)$ de viaje.

Así también $\exp(A)-I$ y $A^{-1}$ de viaje.

Answer 3

Intenta escribir la serie para $exp$ ¡y simplificar la ecuación antes de evaluar!

No tendrías que preocuparte de dividir.

Answer 4

Si se observa la expansión en serie de esta función en $z=0$ , se encuentra que sólo hay poderes positivos de $z$ .

En cualquier caso, ingenuamente $\frac{1}{z}=z^{-1}$ simplemente se traduce en la inversa, que existe para muchas matrices.

Para todas estas traducciones, hay que tener en cuenta, sin embargo, que $xy=yx$ no tiene por qué ser válida para las matrices. Pero si una función sólo implica una variable matricial ( $z$ aquí), no hay ningún problema.