¿Por qué los grupos y los grupos abelianos son tan diferentes?

Question

Los grupos son naturalmente "las simetrías de un objeto". Para mí, los axiomas de grupo son sólo una forma de codificar lo que pueden ser las simetrías de un objeto para poder estudiarlo de forma abstracta.

Sin embargo, esta heurística se rompe en el caso de muchos grupos abelianos. Los grupos abelianos surgen más a menudo como un "receptáculo para la adición". Lo que quiero decir es que se trata de combinaciones más intuitivas de algunos elementos generadores. Véanse, por ejemplo, los espacios de solución de las ecuaciones lineales, el grupo subyacente de los anillos y los módulos, los grupos de (co)homología. Rara vez actúan de forma natural sobre algo que no sea ellos mismos, lo que parece una evasión.

Me molesta que estas dos intuiciones estén tan alejadas la una de la otra, a pesar de que los axiomas subyacentes difieren por una única suposición, engañosamente leve. ¿Hay alguna manera de conciliar estas dos perspectivas? ¿Los grupos abelianos satisfacen los axiomas de grupo por accidente?

Answer 1

Esto es lo que pienso: si el grupo de automorfismo de un objeto es abeliano, esto significa algo muy fuerte sobre el objeto. Significa que puedes afectar a su estructura de dos maneras diferentes, en cualquier orden, y que no se afectarán mutuamente. Esto me sugiere que tal vez el objeto esté formado por "piezas" separadas que sólo pueden ser afectadas de forma independiente.

El primer ejemplo de este tipo que se me ocurre es un producto directo (anillo conmutativo) de campos finitos de diferentes características. Cada campo tiene un grupo de automorfismo cíclico, lo que lo hace muy "simple", y los campos no pueden mapearse entre sí, lo que significa que sólo pueden ser afectados "independientemente".

Así que propongo que si quieres pensar en los grupos abelianos como grupos de simetría, puedes imaginarlos como los grupos de simetría de objetos que se "rompen" en piezas "simples" que no pueden interactuar entre sí (intencionadamente vago, ya que no quiero comprometerme con una categoría concreta).

Answer 2

Desde una perspectiva de la teoría de la representación, abelian grupos se distinguen por la riqueza de sus invertible representaciones, ya que (en el localmente compacto caso), los grupos son completamente determinado por unidimensional de caracteres complejos. Para nonabelian grupos, el unidimensional de caracteres sólo determinar la abelianization, y uno debe de encontrar acciones en grandes espacios vectoriales para recuperar la completa estructura de grupo. Abelian grupos de admitir directa de la transformada de Fourier, que es un cambio de base entre las funciones en un grupo y las funciones de los dos (es decir, el carácter del grupo. Para un nonabelian grupo, la situación se vuelve mucho más complicado, la participación de las representaciones de quantum dobles.

A partir de una homotopy teoría de la perspectiva, los grupos pueden ser delooped una vez, pero abelian grupos pueden ser delooped infinidad de veces. Esta es la razón por la que usted puede tener Eilenberg-MacLane espacios de K(G,n) para n > 1 si y sólo si G es abelian. Desde estos espacios representan cohomology con G coeficientes, esta es la razón por mayor grado cohomology sólo existe para G abelian.

Hay niveles intermedios de loopiness, correspondiente a la conmutatividad hasta homotopy además de algunos niveles intermedios de la coherencia de las opciones de homotopies. El quantum doble de un grupo G, por ejemplo, vive en el doble bucle espacio G/G. Un discreto doble bucle espacio H es automáticamente un grupo abelian, ya que \pi₂ de la dos veces delooping es H, y la mayor homotopy grupos abelian (esta es una forma de la Eckmann-Hilton argumento). Como Qiaochu mencionado, el 2-morfismos en un 2-groupoid con un objeto y un 1-morfismos forma natural dos veces "loop set" que por lo tanto es un grupo abelian.

Answer 3

Creo que la idea de que los grupos abelianos sólo son grupos "por accidente" tiene algo de cierto. Aquí hay al menos una construcción de la categoría de los conmutativos monoides que no menciona directamente la operación monoidal y no puede modificarse fácilmente para obtener una definición de la categoría de todos los monoides.

Dejemos que Fin denota la categoría de los conjuntos finitos y de todos los mapas, y sea Span denotan la categoría de vanos en Fin sus objetos son los objetos de Fin , y un morfismo de X a Y es un diagrama X ← Z → Y en Fin . El tramo de identidad en X es X ← X → X, y la composición de tramos es por pullback. Esto es propiamente una 2-categoría, así que conviértela en una 1-categoría reemplazando cada Hom-categoría por su conjunto de clases de isomorfismo de objetos (descartando los automorfismos).

Esta categoría tiene productos finitos, que vienen dados por la unión disjunta de los conjuntos subyacentes. Sea Comunicación sea la categoría de funtores preservadores de productos finitos de Span a Establecer . Entonces Comunicación es equivalente a la categoría de los monoides conmutativos.

Answer 4

También me gusta pensar de abelian grupos muy diferentes de (general) grupos. Para mí un grupo abelian debe ser pensado más como un módulo de un grupo. De hecho, abelian grupos son la misma cosa, como Z-módulos y la categoría de abelian grupos, es un abelian categoría (que tiene muchas buenas propiedades que no son compartidos por la categoría de grupos). El prototipo de ejemplos de abelian categorías son categorías de módulos sobre un anillo. En el caso de abelian grupos en el anillo Z (el anillo de los enteros).

Answer 5

Un grupo es una categoría con un objeto único y todos los morfismos invertible, un grupo abelian es un monoidal categoría con un solo objeto y a todos los morfismos es invertible.

Esto puede ser visto a través del truco que si un conjunto (en este caso los morfismos de la categoría) tiene dos multiplicaciones que se desplazan uno con el otro (en este caso la composición de morfismos y producto tensor de morfismos) y en la misma unidad (el único de identidad de morfismos en la categoría), entonces ellos están de acuerdo y son conmutativas.