Dos variables límite de un cociente de polinomios

Question

Estoy tratando de evaluar el siguiente límite, $$ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3-y^2}{x^2-y} $$ que creo que no existe, ya que para la curva $\alpha :[0,1]\to \mathbb R^2$, $\alpha(t) = (t, t^2)$ no está bien definido, y si el límite existe es porque para cada curva continua $\gamma:[0,1]\to \mathbb R^2$ tal que $\gamma(0) = (0,0)$ $\gamma(t) \neq (0,0)$ todos los $t\neq 0$, e $\lim_{t\downarrow 0} f(\gamma(t)) = 0.$ ¿Es correcto? ¿Cómo evalúa el límite? Cualquier sugerencia? Gracias de antemano.

Answer 1

Si $f(x,y)=(x^3-y^2)/(x^2-y)$ $f(t,t^2+t)=t(t^2+t+1)$ mientras $f(t,t^2+t^3)=t^3+2t^2+t-1.$ $t \to 0$ uno de ellos va a $0$ y que el otro va a $-1$.