Hace un continuo campo escalar en un ámbito continuo bucle de "isotérmica antípodas"

Question

Para un continuo campo escalar en un círculo, no es un diámetro de la circunferencia tal que los extremos del diámetro tienen el mismo valor. Si usted piensa que el campo escalar como "la temperatura", entonces lo que dice es que hay puntos en los lados opuestos del círculo que están a la misma temperatura: isotérmica antípodas.

Así, por un continuo campo escalar sobre una esfera, lo mismo es cierto: hay isotérmica antípodas. (Considerar cualquier gran círculo).

Ahora, es más se puede decir? Se puede decir, por ejemplo, que hay un bucle cerrado en la superficie de la esfera de tal manera que cada punto en el bucle tiene el mismo valor que el otro extremo de su diámetro?

Answer 1

[edit: como se predijo, no es un contraejemplo con ningún bucle continuo. Consulte adición de abajo.]

Creo que usted no puede obtener bastante un bucle, sólo un topológico continuo (una compacta conectada subconjunto) en la esfera cuyo complemento contiene varios componentes. La continuidad puede ser conseguido mediante la elaboración de Rahul respuesta a elegir un componente de la $g=0$ locus.

La existencia de topológicamente salvaje continua, tales como el "círculo de Varsovia", sugiere que se puede llegar a una criatura en la esfera o plano proyectivo y, a continuación, extender a una función continua que dé un contraejemplo. O usted podría tomar un campo que tiene el ecuador como el locus de isotérmica antípodas ($g=0$) y tratar de realizar un (antisimétrica) la flexión de la construcción que se modifica partes del ecuador, convirtiéndose en una salvaje curva que no puede ser rastreada por un bucle continuo.

[añadido: la extensión de la construcción funcionaría de la siguiente manera. Tomar dos puntos opuestos en el ecuador. Únete a ellos con un salvaje continuo en un hemisferio, y el antípoda de que la continuidad en el hemisferio opuesto. Definir $f(x)$ a que sea la distancia a la cosa salvaje, en un hemisferio, y el negativo de la distancia a la cosa salvaje, en el hemisferio opuesto. Por lo tanto $f(x) = -f(-x)$ sobre la totalidad de la esfera, y $f=0$ sólo en la naturaleza de la construcción que no puede ser atravesado continuamente por un camino.]

Answer 2

Para cualquier continua escalar campo $f$ sobre la esfera, se puede definir un continuo campo escalar $g$ $g(p) = f(p) - f(\bar{p})$ donde $\bar{p}$ es el punto antipodal de $p$. A menos $g$ es cero en todas partes, hay un punto de $q$ que $g(p) > 0$$g(\bar{q}) = -g(q) < 0$. Como $g$ es continuo, cerrado el contorno de la separación de $q$ $\bar{q}$ existe en que $g$ es cero.

Edit: La última sentencia "parece obvio" para mí, pero no tengo el conocimiento suficiente de espacios topológicos compactos o colectores para hacer que sea riguroso. Tal vez un contraejemplo existe.

Edit 2: Ver T..'s respuesta para un dibujo de un contraejemplo. Al parecer, yo estaba pensando acerca de la existencia de una curva , mientras que a la pregunta de un bucle?

Answer 3

En cuanto a lo que más se puede decir de las dimensiones superiores, echa un vistazo a la Borsuk-Ulam Teorema.