Fórmula de inversión de Möbius para dos funciones f(x) y g(x)

Question

Dadas las 2 funciones $$ g(x)= \sum_{n=1}^{\infty}f\left(\frac{x}n\right)\log(n)\;, $$ cómo puedo utilizar la inversión de Möbius para recuperar $f$ de $g$ ?? Creo que

$$ f(x)= \sum_{n=1}^{\infty}\mu (n)g\left(\frac{x}n\right)\log(n)\;. $$ Aquí "mu" es la función de Möbius.

Answer 1

Supongamos que $f(x)=x^{10}$ . Entonces $$g(x)=\sum_1^{\infty}x^{10}n^{-10}\log n=Cx^{10}$$ donde $C=\sum_1^{\infty}n^{-10}\log n$ es una constante positiva muy pequeña. Entonces $$\sum_1^{\infty}\mu(n)g(x/n)\log n=Cx^{10}\sum_1^{\infty}\mu(n)n^{-10}\log n=CDx^{10}$$ donde $D=\sum_1^{\infty}\mu(n)n^{-10}\log n$ es una constante muy pequeña. No podemos tener $CD=1$ , por lo que no podemos tener $$f(x)=\sum_1^{\infty}\mu(n)g(x/n)\log n$$

Answer 2

Existe una fórmula de inversión bien conocida que se recoge en la sección 27.5 del Manual de Funciones Matemáticas del NIST (DLMF online): $$G(x) = \sum_{n \leq x} F(x/n) \iff F(x) = \sum_{n \leq x} \mu(n) G(x/n).$$ Así que hay dos opciones:

1. Podemos escribir su $g(x)$ con una función de suelo, como $$g(x) = \sum_{n \leq x} f\left(\left\lfloor \frac{x}{n} \right\rfloor\right) \log n,$$ y luego aplicar la fórmula del manual DLMF; o
2. Esencialmente hacer esto, pero atado $f(x/n) \log n$ para grandes $n > x$ y luego aplicar una variante de la fórmula indicada.

Answer 3

Estuve releyendo algunos viejos mensajes en este sitio. Quiero responder a la preocupación de Gerry dada en el comentario de arriba con más detalle. Para la serie que cita Gerry utilizando $g(x) = x^{10}$ tenemos (por análisis de series uniformemente convergentes, y diferenciación de esta serie formal) que $$g(x) = -\zeta^{\prime}(10) \cdot x^{10}.$$

Es justo, aquí el exacto $|\zeta^{\prime}(10)| \approx 0.000697033$ , de hecho un pequeño factor constante. Tomemos $C_0 := -\zeta^{\prime}(10)$ . Por un razonamiento similar sobre la segunda expansión de la serie que resulta para $f(x)$ vemos que

$$f(x) = \sum_{n \geq 1} \mu(n) g(x/n) \log n = C_0 \cdot x^{10} \times \frac{d}{ds}\left[\frac{1}{\zeta(s)}\right]\Biggr\rvert_{s=10}.$$

Calculando formalmente la última derivada del recíproco de la función zeta de Riemann con respecto a $s$ tenemos que $f(x) = x^{10}$ Por ejemplo, la primera notación da como resultado $CD = 1$ en este caso.

Nótese que hemos utilizado la propiedad de que la serie de Dirichlet sobre la función de Moebius satisface $$\sum_{n \geq 1} \frac{\mu(n)}{n^s} = \frac{1}{\zeta(s)}, \forall \Re(s) > 1.$$