La integración en el generador de la infinitesimal especial de conformación de transformación

Question

(c.f Di Francesco, la Teoría conforme de campos en los capítulos 2 y 4).

La expresión para el total del generador, $G_a$, de una transformación de la es $$iG_a \Phi = \frac{\delta x^{\mu}}{\delta \omega_{a}} \partial_{\mu} \Phi - \frac{\delta F}{\delta \omega_a}$$ Para un infinitesimal especial de conformación de la transformación (SCT), las coordenadas de transformación como $$x'^{\mu} = x^{\mu} + 2(x \cdot b)x^{\mu} - b^{\mu}x^2$$

Si ahora supongamos que el campo se transforma trivialmente en virtud de un SCT a través de todo el espacio, a continuación,$\delta F/\delta \omega_a = 0$.

Geométricamente, un SCT consta de una inversión, la traducción y, a continuación, una mayor inversión. Una inversión de un punto en el espacio sólo se ve como una traducción de el punto. De modo que la constante de vectores $b^{\mu}$ parametrises la SCT. A continuación, $$\frac{\delta x^{\mu}}{\delta b^{\nu}} = \frac{\delta x^{\mu}}{\delta (x^{\rho}b_{\rho})} \frac{\delta (x^{\gamma}b_{\gamma})}{\delta b^{\nu}} = 2 x^{\mu}x_{\nu} - x^2 \delta_{\nu}^{\mu}.$$ Ahora pasar a mi pregunta: Di Francesco hace un punto de no mostrar cómo el finito transformación de la SCT, sino sólo a los estados. $$x'^{\mu} = \frac{x^{\mu} - b^{\mu}x^2}{1-2x\cdot b + b^2 x^2}$$ Me preguntaba si alguien me apunte a un enlace o explicar la derivación. Es la razón por la que no debido a la aparición de complicación o por ser tedioso?

También estoy preguntando cómo, desde cualquiera de los infinitesimales o finito de formas, podemos expresar la SCT como $$\frac{x'^{\mu}}{x'^2} = \frac{x^{\mu}}{x^2} - b^{\mu},$$ which is to say the SCT is an inversion $(1/x^2)$ a translation $-b^{\mu}$ and then a further inversion $(1/x^2)$ which then gives $x'^{\mu}$, yo.e la transformación de coordenadas.

Answer 1

Con el fin de determinar el finito SCT de su infinitesimal versión, necesitamos resolver para las curvas integrales de la especial conformación de la matanza de campo $X$ definido por \begin{align} X(x) = 2(b\cdot x) x - x^2 b. \end{align} Puedo explicar por qué esto es equivalente a "integrar" la transformación infinitesimal a continuación. Esto significa que tenemos que resolver la siguiente ecuación diferencial: $X(x(t)) = \dot x(t)$ para la función de $x$. Explícitamente, esta ecuación diferencial es \begin{align} \dot x = 2(b\cdot x) x - x^2 b. \end{align} Esto se puede hacer con un truco, es decir, un cierto cambio de variables. Definir \begin{align} y = \frac{x}{x^2}, \end{align} y el resultado es una ecuación diferencial satisfecho por $y$ se convierte en simple; \begin{align} \dot y = -b. \end{align} Los exhorto a realizar el álgebra usted para confirmar esto. Es una especie de magia que funciona si usted me pregunta, y el cambio de variables es precisamente una inversión, por lo que creo que hay algo más profundo pasando aquí, pero no estoy seguro de qué es. La solución a esta ecuación es simplemente $y = y_0 -tb$, por lo tanto, encontramos que la función original de $x$ satisifes \begin{align} \frac{x}{x^2} = \frac{x_0}{x_0^2} - tb. \end{align} En otras palabras, nos hemos convertido en un monstruoso sistema no lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias en un simple ecuación algebraica. De hecho, uno puede mostrar que la algebraicas eqution $x/x^2 = A$ tiene la solución $x = A/A^2$, del que se desprende que la solución a nuestro problema original es \begin{align} x(t) = \frac{x_0 - x_0^2(tb)}{1-2x_0\cdot(tb) + x_0^2(tb)^2}, \end{align} como deseado, ya que esta es precisamente la forma de la "finita" de la SCT. Tenga en cuenta que estos sólo son locales curvas integrales; la solución golpea una singularidad al $t$ es tal que el denominador se desvanece.

Por qué resolver para curvas integrales?

Si usted se está preguntando lo que tu pregunta original no tiene nada que ver con la resolución de las curvas integrales de la especial conformación del vector campo escribí, entonces sigue leyendo.

Es útil comenzar con el concepto de flujo.

La transformación de puntos a través de los flujos.

Vamos a un punto de $x\in\mathbb R^d$ ser dado, entonces para cada a $b\in\mathbb R^d$, suponemos, al menos en un barrio de ese punto, que hay un $\epsilon$-parámetro de la familia de transformaciones $\Phi_b(\epsilon):\mathbb R^d \to \mathbb R^d$ $\epsilon\in [0,\bar\epsilon)$ tal que $\Phi_b(\epsilon)(x)$ dice que lo SCT correspondientes al vector $b$ lo hace hasta el punto de $x$ es `flujo" en $\epsilon$. En $\epsilon = 0$, este flujo sólo se asigna el punto a sí mismo; \begin{align} \Phi_b(0)(x) = x, \end{align} es decir, se inicia en la identidad. Para $\epsilon >0$, el flujo se traduce el punto a lo largo de una curva en $\mathbb R^d$. Si usted cambia de $b$, esto corresponde a moverse camino de $x$ en una diferente dirección inicial bajo el flujo.

Infinitesimal generador de flujo.

Cuando hablamos de un generador infinitesimal de una transformación, estamos hablando de un término que genera la aproximación lineal para el flujo en el parámetro de $\epsilon$. En otras palabras, se expanda \begin{align} \Phi_b(\epsilon)(x) = x + \epsilon G_b(x) + O(\epsilon^2), \end{align} y el campo de vectores $G_b$ es llamado el generador infinitesimal de la corriente. Lo que usted ha señalado en su pregunta, es que sabemos que este generador infinitesimal; \begin{align} G_b(x) = 2(b\cdot x)x - x^2 b, \end{align} y ahora queremos reconstruir el flujo simplemente por conocer esta información correspondiente a su aproximación lineal en cada punto. Esto es equivalente a resolver algunos de primer orden ecuaciones diferenciales ordinarias, que es por qué la gente suele decir que quiere "integrar" la transformación infinitesimal para determinar el finito uno; la integración es tal vez un poco arcaica forma de la solución de la correspondiente ecuación diferencial.

Encontrar el todo el flujo dada su generador.

Ok, así que lo que la ecuación diferencial que podemos solucionar? Además, tenga en cuenta que el campo de vectores $G_b$ es tangente a las curvas generadas por el flujo, por su propia construcción (tomamos un derivado con respecto a $\epsilon$ es la "velocidad" de la curva generada por el flujo de aire), por lo que la ecuación diferencial que queremos resolver es \begin{align} \dot x(\epsilon) = G_b(x(\epsilon)), \end{align} y queremos resolver para $x(\epsilon)$. Las soluciones a esta ecuación diferencial se conocen como curvas integrales del campo de vectores $G_b$.

Agradecimientos.

Yo no figura la primera parte de esta respuesta completamente por mi cuenta. La idea de hacer la sustitución de $y=x/x^2$, lo cual es realmente el quid de todo, vino de aquí http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=518316, es decir, desde que el usuario Bill_K.

La idea de cómo resolver la ecuación algebraica $x/x^2 = A$ provenían de las matemáticas.SE usuario @HansLundmark después de que publicó esencia de su pregunta en mathy lenguaje de las matemáticas.SÍ aquí.

Que debo otra de matemáticas.SE usuario @Kirill resuelto por la integral de las curvas de una forma totalmente diferente en su respuesta a la pregunta que he publicado.

Adenda.

¿Cómo llega uno a $\dot y = -b$ desde el cambio de variable $y=x/x^2$ como se reivindica en la primera sección? Bien, vamos a calcular: \begin{align} \dot y &= \frac{x^2\dot x - x(2x\cdot \dot x)}{(x^2)^2} \\ &= \frac{x^2(2(b\cdot x) x - x^2 b) - x(2x\cdot (2(b\cdot x) x - x^2 b))}{(x^2)^2} \\ &= \frac{2x^2(b\cdot x) x - (x^2)^2b - 4x^2(b\cdot x) x + 2x^2(b\cdot x)x}{(x^2)^2} \\ &= -\frac{(x^2 )^2b}{(x^2)^2} \\ &= -b \end{align} La magia!

Answer 2

Las dos preguntas planteadas anteriormente son exactamente lo mismo, y uno se puede demostrar simplemente sustituyendo $x'_\mu$ y el cálculo. Si de no mostrar cómo el finito transformación de la SCT, sino sólo a los estados. $$x'^{\mu} = \frac{x^{\mu} - b^{\mu}x^2}{1-2x\cdot b + b^2 x^2}$$ entonces $$(x')^2 = \frac{(x_\mu-x^2 b_\mu)(x^\mu-x^2 b^\mu)}{(1-2xb+b^2x^2)^2}=\frac{x^2(1-2bx+x^2b^2) }{(1-2xb+b^2x^2)^2}=\frac{x^2}{1-2xb+b^2x^2}$$ y por lo tanto $$\frac{x'}{(x')^2} = \frac{x-x^2b}{x^2} $$ (algunos índices se han omitido en un auto-explicativo manera) que es exactamente la segunda ecuación. Así que las dos ecuaciones que se preguntan acerca de son exactamente equivalentes.

La especial conformación de las transformaciones puede ser definida de forma única como la conformación de las transformaciones que asignar el infinito hasta un punto diferente y que el mapa de una línea de los múltiplos de $b^\mu$ sobre sí mismo. La inversión es realmente necesario para obtener el punto en el infinito a un lugar finito, por lo que puede ser trasladado a otros lugares a través de la traducción en el medio.

Si utiliza una definición diferente de la especial conformación de la transformación de la definición de "inversa veces las traducciones de tiempo de la inversión" o la definición del párrafo anterior, se tendría que especificar cuál es su definición y fácilmente se podría demostrar la equivalencia con las definiciones anteriores, también.

Answer 3

Sin embargo, no veo cómo exponentiate la forma infinitesimal para llegar a la forma finita

Además de la detallada respuesta de @LubošMotl, usted puede notar que la conformación de las transformaciones de transformar la luz que los conos, conos de luz.

Esto significa que el siguiente. A partir de un cono de luz :

$$(x'-a')^2 = x'^2-2x'.a' + a'^2=0\tag{1}$$

usted debe encontrar que es también un cono de luz para $x$, es decir, existe $a$ tales como :

$$(x-a)^2 = x^2-2x.a + a^2=0\tag{2}$$

Para ello, reemplaza simplemente $x'$ por su valor en función de $x$, por :

$$x'^{\mu} = \frac{x^{\mu} - b^{\mu}x^2}{1-2x\cdot b + b^2 x^2} \tag{3}$$

y, con un poco de álgebra, usted encontrará que es posible presentar $a(a',b)$ ($a$ como una función de la $a'$$b$) , que satisties ($2$).:

$$a = \dfrac{a' + a'^2b}{1-2a'.b+a'^2b^2}\tag{4}$$

Esto significa que la transformación de $(3)$ es una de conformación de transformación cuyo infinitesimal expresión es claramente: $$x'^{\mu} = x^{\mu} + 2(x \cdot b)x^{\mu} - b^{\mu}x^2 \tag{5}$$ (porque sólo cuadrática términos en x están permitidos en infinitesimal de conformación de las transformaciones)

Cualquier otra expresión global de la especial conformación de transformación de $(3)$, después de haber infinitesimal expresión $(5)$, no va a transformar la luz que los conos, conos de luz.