Soy auto-estudio general de la topología, y tengo curiosidad acerca de la definición de la función continua. Sé que la definición se deriva de cálculo, pero ¿por qué definimos como que?Me refiero a qué tipo de propiedad que queremos preservar a través de la función continua?
Respuestas
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Vamos a formular la definición general de una cierta manera más intuitiva : una función es continua si, en virtud de pequeña perturbación en el dominio de la variación en el rango no es demasiado grande, o más precisamente : podemos hacer que la variación en el rango tan pequeño como sea posible si pedimos lo suficientemente pequeña perturbación.
En el contexto de la topología general, el "pequeño" conjuntos puede ser sustituido por el de "bien elegido abrir conjuntos". De modo que la definición debe ser pensado como : una función de $f$ es continua en a $x$ si dado cualquier suficientemente pequeño conjunto abierto $U$ contiene $f(x)$, existe un conjunto abierto $V$ (que podemos ser forzados a elegir muy pequeño) que contengan $x$ tal que $f(V) \subset U$.
Tasha
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28
Si te refieres a la definición que $f\colon X\to Y$ es continua si $f^{-1}(U)$ es abierta para todos los abiertos $U\subseteq Y$, esto es debido a esta propiedad es equivalente a la continuidad en espacios métricos, pero no se refiere a la métrica. Esto hace que sea un candidato natural para la definición general.
Es un poco más difícil para motivar la definición en términos de la preservación de las propiedades, ya que tenemos que hacerlo al revés. Estamos diciendo que una función $f$ es continua si $f^{-1}$ (pensado como una función de un conjunto de subconjuntos de a $Y$ para el conjunto de los subconjuntos de a $X$) conserva la propiedad de la apertura. Estamos en problemas si tratamos de insistir en que $f(U)$ es abierta para todos los abiertos $U\subseteq X$ (mapas con esta propiedad se llaman abierto), debido a que la función de la imagen de los subconjuntos de a $X$ a los subconjuntos de a $Y$, teniendo un subconjunto $V$ a el subconjunto $f(V)$, no respeta las operaciones de unión e intersección de la misma manera que $f^{-1}$. Por ejemplo, $f^{-1}(U\cap V)=f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V)$, pero no es cierto en general que $f(U\cap V)=f(U)\cap f(V)$. Como la definición de topología implica ciertas intersecciones y uniones de preservar la propiedad de apertura, cualquier "estructura de la preservación de mapa" debe hacerlo así, que es por eso que consideramos la $f^{-1}$.
user65514
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Quiero añadir un poco a Matt Pressland agradable respuesta:
A veces es útil pensar en la noción de un "continuo", funcionan como más "primitiva" de la noción de "topología'. Por ejemplo:
- La topología de subespacio es lo que hace que la inclusión mapa continuo, es decir, elegir la base de la topología tal que la inclusión del mapa es continua.
- Producto de la topología es lo que hace que el mapa de proyección continua
- Cociente de la topología es lo que hace que el cociente mapa continuo
oefe
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9122
La razón es que el $\delta$-y el barrio de $\epsilon$-barrio en la definición de la continuidad de la $f$ en el espacio Euclidiano, respectivamente, corresponden a $U$ $f^{-1}(U)$ en el sentido topológico. (No me estoy explicando bien los detalles, puesto que simplemente se pregunta la razón no es la definición de todos estos)
