¿Cuáles son las álgebras de la doble powerset mónada?

Question

Deje $\mathscr{P} : \textbf{Set} \to \textbf{Set}^\textrm{op}$ (contravariante) powerset functor, la adopción de un conjunto $X$ a su powerset $\mathscr{P}(X)$ y un mapa de la $f : X \to Y$ a la inversa de la imagen de mapa de $f^* : \mathscr{P}(Y) \to \mathscr{P}(X)$. Primaria resumen tonterías, sabemos que $\mathscr{P}$ tiene un derecho adjoint $\mathscr{P}^\textrm{op}$: de hecho,

$$\textrm{Hom}(X, \mathscr{P}(Y)) \cong \textrm{Hom}(X \times Y, \Omega) \cong \textrm{Hom} (Y \X veces, \Omega) \cong \textrm{Hom}(S, \mathscr{P}^\textrm{op} (X))$$

donde $\Omega$ es el subobjeto clasificador $\{ 0, 1 \}$$\textbf{Set}$. Vamos a escribir $\mathscr{T}$ para el compuesto $\mathscr{P}^\textrm{op} \mathscr{P}$; luego tenemos una monada $(\mathscr{T}, \eta, \mu)$$\textbf{Set}$.

Por abstracto avanzada tonterías (Paré teorema o Mikkelsen del teorema) se puede demostrar que $\mathscr{P}$ es monádico, es decir, que la canónica comparación functor $\textbf{Set}^\textrm{op} \to \mathscr{T}\textbf{-Alg}$ es una equivalencia de categorías; pero $\textbf{Set}^\textrm{op}$ es conocido por ser equivalente a la categoría de completar atómica álgebras booleanas, por lo que esta, por tanto, implica que un $\mathscr{T}$-álgebra es la misma cosa como una completa atómica álgebra booleana.

Pregunta. ¿Cómo hace uno para mostrar esta directamente?

Es sencillo comprobar que $$\eta_X (x) = \{ S \subseteq X : x \in S \} = \mathord{\uparrow} (\{ x \})$$ y la multiplicación mapa $$\mu_X (V) = \bigcup_{U \in V} \{ S \subseteq X : \eta_{\mathscr{P} (X)}(S) = U \}$$ pero estoy teniendo muchos problemas para conseguir cualquier intuición de lo $\mu_X$ no más allá de cómo se construye: se recupera el conjunto de todos los $S$ tal que el principal filtro de $\mathord{\uparrow} (\{ S \})$ es un miembro de $V$. Si $V$ sí es hacia arriba-cerrado, entonces tenemos la fórmula $$\mu_X (V) = \bigcup_{U \in V} \bigcap_{T \in U} T$$ ya que para todas las $U \in V$ si $S \in T$ todos los $T \in U$,$U \subseteq \mathord{\uparrow}(\{ S \})$, es decir, $$U \subseteq \bigcap \left\{ \mathord{\uparrow}(\{ S \}) : S \in \bigcap U \right\}$$ Así, por $U \subseteq \mathscr{T}(X)$, $$\mu_X ( \mathord{\uparrow}(U) ) = \bigcap_{T \in U} T$$ y como un caso especial, obtenemos la izquierda de la unidad de la ley $$\mu_X ( \eta_{\mathscr{T}(X)} (T) ) = T$$ Esto significa que podemos recuperar el conocer el funcionamiento de $\mathscr{T}(X)$$\mu_X$, considerado como el libre completa atómica álgebra booleana en $X$. También podemos recuperar la operación de combinación: $$\bigcup_{T \in U} T = \mu_X \left( \bigcup \left\{ \mathord{\uparrow} (\{ T \}) : T \in U \right\} \right)$$ (El uso de $\bigcup$ en el lado derecho es legítimo, ya que la operación de combinación de $\mathscr{T}(\mathscr{T}(X))$ independiente de la operación de combinación de $\mathscr{T}(X)$.)

Ahora, yo sé que cualquier completar celosía $A$ admite un canónica pseudocomplement operación $$\lnot a = \bigvee \{ a' \in A : a \wedge a' = \bot \}$$ pero no tengo idea de cómo las propiedades de $\mu_X$ implica el 'encuentro' y 'unirse' operaciones conseguimos satisfacer los requisitos de un (completa) el álgebra booleana, ni tampoco veo donde atomicidad podría venir de.

Answer 1

La firma de completar atómica álgebras booleanas es la clase de todas las funciones $\{0,1\}^\kappa \to \{0,1\}$ donde $\kappa$ puede ser cualquier conjunto. Hasta el isomorfismo canónico, para cualquier álgebra $a:\mathscr{P}^2X\to X$ y cualquier operador $P:\{0,1\}^\kappa \to \{0,1\}$, tenemos: $$X^Y \stackrel{(\eta_X)^\kappa}\longrightarrow \{0,1\}^{\mathscr PX\times \kappa} \stackrel{P^{\mathscr PX}}\longrightarrow \{0,1\}^{\mathscr P X} \stackrel a \longrightarrow X$$ De esta manera cada $\#\kappa$-ary operación $\{0,1\}$ en implementada en $X$.