Encuentre el valor de $\lim\limits_{n \to \infty}n\left(\left(\int_0^1\frac{1}{1+x^n}\,\mathrm{d}x\right)^n-\frac{1}{2}\right)$

Question

Encontrar el valor del límite $$\lim_{n \to \infty}n\left(\left(\int_0^1 \frac{1}{1+x^n}\,\mathrm{d}x\right)^n-\frac{1}{2}\right)$$

No puedo resolver la integral $\int_0^1 \mathrm{\frac{1}{1+x^n}}\,\mathrm{d}x$ . Pero tal vez las preguntas no requieran resolver la integral.
Al parecer, el $\lim_{n \to \infty}(\int_0^1 \mathrm{\frac{1}{1+x^n}}\,\mathrm{d}x)^n$ debe ser $\frac{1}{2}$ para que la pregunta tenga sentido. Eso es todo lo que sé.

Answer 1

Dejemos que $I(n)$ venga dada por la integral

$$\begin{align} I(n)&=\int_0^1 \frac{1}{1+x^n}\,dx \tag 1\\\\ \end{align}$$

Entonces, expandiendo el integrando de la integral en el lado derecho de $(1)$ en la serie Taylor $ \frac{1}{1+x^n}=\sum_{k=0}^\infty (-1)^kx^{nk}$ revela

$$\begin{align} I(n)&=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{nk+1}\\\\ &=1+\frac1n \sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k+1/n} \tag 2 \end{align}$$

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A continuación, utilizando el hecho de que $\log(2)= \sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{k}$ y que $\frac{\pi^2}{12}=-\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^2}$ podemos escribir la serie en $(2)$ como

$$\begin{align} \sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k+1/n} &=-\log(2)+\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\left(\frac{1}{k+1/n}-\frac1k\right)\\\\ &=-\log(2)-\frac1n \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k(k+1/n)}\\\\ &=-\log(2)-\frac1n \sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k^2}-\frac1n\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\left(\frac{1}{k(k+1/n)}-\frac{1}{k^2}\right)\\\\ &=-\log(2)+\frac{\pi^2}{12n}+O\left(\frac1{n^2}\right) \tag 3 \end{align}$$

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Utilizando $(1)-(3)$ rinde

$$I(n)=1-\frac{\log(2)}{n}+\frac{\pi^2}{12n^2}+O\left(\frac1{n^3}\right) \tag 4$$

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A continuación, utilizando $(4)$ podemos escribir

$$\begin{align} \left(I(n)\right)^n&=e^{n\log\left(1-\frac{\log(2)}{n}+\frac{\pi^2}{12n^2}+O\left(\frac1{n^3}\right)\right)}\\\\ &=e^{-\log(2)+\frac{\pi^2}{12n}-\frac{\log^2(2)}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)}\\\\ &=\frac12 \left(1+\frac{\pi^2}{12n}-\frac{\log^2(2)}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) \end{align}$$

Por último, tenemos

$$\begin{align} \lim_{n\to \infty}\left(n\left(\left(I(n)\right)^n-\frac12\right)\right)&=\lim_{n\to \infty}\left(\frac{\pi^2}{24}-\frac{\log^2(2)}{4}+O\left(\frac1n\right)\right)\\\\ &=\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\frac{\pi^2}{24}-\frac{\log^2(2)}{4}} \end{align}$$

¡Y ya está!

Answer 2

Mi enfoque es un poco diferente. Yo sub $x=u^{1/n}$ en la integral y obtener

$$I(n) = \int_0^1 \frac{dx}{1+x^n} = \frac1n \int_0^1 du \frac{u^{\frac1n-1}}{1+u} = \frac1n \int_0^1 du \, u^{1/n} \left (\frac1u - \frac1{1+u} \right ) \\= 1-\frac1n \int_0^1 du \frac{u^{1/n}}{1+u}$$

A continuación, observamos que $u^{1/n} = e^{\log{u}/n}$ y que $n$ es lo suficientemente grande para que la siguiente expansión en serie sea válida:

$$I(n) = 1- \sum_{j=0}^{\infty} \frac1{n^{j+1}} \int_0^1 du \frac{\log^j{u}}{1+u} $$

Debido a la naturaleza del límite que se nos plantea, salimos a segundo orden; así

$$I(n) = 1-\frac{\log{2}}{n} + \frac{\pi^2}{12 n^2} +O \left ( \frac1{n^3} \right ) $$

Entonces

$$\begin{align}I(n)^n &= e^{n \log{\left [1-\frac{\log{2}}{n} + \frac{\pi^2}{12 n^2} +O \left ( \frac1{n^3} \right )\right ]} } \\ &= e^{n\left [-\frac{\log{2}}{n} + \frac{\pi^2}{12 n^2} - \frac{\log^2{2}}{2 n^2}+O \left ( \frac1{n^3} \right ) \right ] } \\ &= \frac12 \left [1+\left (\frac{\pi^2}{12} - \frac12 \log^2{2} \right ) \frac1n +O \left ( \frac1{n^2} \right ) \right ]\end{align}$$

El límite buscado es entonces

$$\lim_{n \to \infty} n \left [I(n)^n-\frac12 \right ] = \frac{\pi^2}{24} - \frac14 \log^2{2} $$

Answer 3

Sugerencia . Si se conoce la función digamma $\psi=\Gamma'/\Gamma$ se puede escribir, como $n \to \infty$ , $$ \begin{align} \int_0^1\frac1{1+x^n}\:dx&=\int_0^1\frac{1-x^n}{1-x^{2n}}\:dx \\\\&\stackrel{u=x^{2n}}=\frac1{2n}\int_0^1\frac{(1-u^{1/2})u^{1/(2n)-1}}{1-u}\:du \\\\&=\frac1{2n}\left[\psi\left(\frac1{2n}+\frac12 \right)-\psi\left(\frac1{2n} \right) \right] \\\\&=1-\frac{\ln 2}{n}+\frac{\pi ^2-6 \ln^2 2}{12n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right) \end{align} $$ dando, como $n \to \infty$ , $$ n\ln \left(1-\frac{\ln 2}{n}+\frac{\pi ^2-6 \ln^2 2}{12n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right) \right)=-\ln 2+\frac{\pi ^2-6 \ln^2 2}{24n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right) $$ es decir

$$ n\left[\left(\int_0^1\frac1{1+x^n}\:dx \right)^n-\frac12\right]\to \frac{\pi ^2-6 \ln^2 2}{24}. $$