¿Cuál es el límite de este divergentes infinito producto, multiplicado por una exponencial?

Question

¿Qué es... $$\lim_{\omega \to \infty} \left( {1 \over {c^{\omega}}} \cdot \prod_{N=1}^{\omega} (1+e^{b \cdot c^{-N}}) \right)$$

Mi intento: no tengo absolutamente ni idea, excepto para el caso de $c=2$ $b=1$ Crear una integral de línea sobre la unidad de la línea evaluado con un uniforme de la medida... $$\int_L e^x d \mu=\int_{L/2} e^x \ d\mu+\int_{L/2} e^{x+1/2} \ d\mu$$ Esta identidad debe ser evidente por la auto-similitud. Prepararse para la recursividad... $$\int_L e^x d \mu=\int_{L/2} e^x+e^{x+1/2} \ d\mu=(1+e^{1/2}) \cdot \int_{L/2} e^x \ d\mu$$ $$\Rightarrow \int_L e^x d \mu=(1+e^{1/2}) \cdot \left( \int_{L/4} e^x \ d\mu+\int_{L/4} e^{x+1/4} \ d\mu \right)$$ $$\Rightarrow \int_L e^x d \mu=(1+e^{1/2}) \cdot (1+e^{1/4}) \cdot \left( \int_{L/4} e^x \ d\mu \right)$$ No sería difícil demostrar por inducción, a continuación, que... $$\Rightarrow \int_L e^x d \mu=\lim_{\omega \to \infty} \left(\prod_{N=1}^{\omega} (1+e^{2^{N}}) \cdot \int_{L/{2^{\omega}}} e^x \ d\mu \right)$$ Sin embargo, sabemos lo que el lado izquierdo es igual, ya que puede ser evaluado como una integral definida, también sabemos que lo que la integral de la derecha es igual. Dado que la medida es uniforme y el número de valores de x serán autorizados a tomar en el intervalo se reduce a sólo el valor, es decir, $0$... $$e-1= \lim_{\omega \to \infty} \left( {1 \over {2^{\omega}}} \cdot \prod_{N=1}^{\omega} (1+e^{2^{N}}) \right)$$

Motivación: Conseguir una respuesta me va a permitir derivar métodos para integrar una función como $e^x$ sobre los fractales.

Answer 1

Definir $y_k = \frac{1}{c^k} \prod_{i=1}^k(1 + e^{b/c^i})$.

Reivindicación 1: Si $c>2$,$\lim_{k\rightarrow\infty} y_k=0$. Si $1\leq c<2$,$\lim_{k\rightarrow\infty} y_k = \infty$.

La prueba para el caso de $c>2$: Suponga $c = 2 + \delta$ algunos $\delta>0$. Existe un valor de $k^*$ tal que $e^{b/c^i} \leq 1 + \delta/2$ todos los $i \geq k^*$. A continuación, para todos los $k>k^*$ tenemos: \begin{align} 0 \leq y_k &= \frac{1}{c^k} \prod_{i=1}^k (1 + e^{b/c^i})\\ &= \left(\frac{1}{c^{k^*}}\prod_{i=1}^{k^*}(1+e^{b/c^i})\right)\frac{1}{c^{k-k^*}}\prod_{i=k^*+1}^{k} (1+e^{b/c^i})\\ &\leq \left(\frac{1}{c^{k^*}}\prod_{i=1}^{k^*}(1+e^{b/c^i})\right)\frac{(2+\delta/2)^{k-k^*}}{c^{k-k^*}}\\ &= \left(\frac{1}{c^{k^*}}\prod_{i=1}^{k^*}(1+e^{b/c^i})\right)\left(\frac{2+\delta/2}{2 + \delta}\right)^{k-k^*} \rightarrow 0\\ \end{align} Por lo $\lim_{k\rightarrow\infty} y_k = 0$.

La prueba para el caso de $1 < c < 2$: Similar.

La prueba para el caso de $c=1$: $y_k = (1+e^{b/c})^k \rightarrow \infty$.

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Reivindicación 2: Si $0 < c < 1$$b\geq 0$$\lim_{k\rightarrow\infty} y_k = \infty$.

Prueba: Sabemos $1+e^{b/c^i} \geq 1$ todos los $i \geq 1$, y por lo $y_k \geq 1/c^k\rightarrow\infty$.

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Reivindicación 3: Si $c=2$$b\geq 0$$1 \leq \lim_{k\rightarrow\infty} y_k \leq e^b$.

Prueba: Desde $b \geq 0$ sabemos $1 \leq e^{b/2^i}$ todos los $i$, y por lo tanto:

\begin{align} y_k &= \frac{1}{2^k} \prod_{i=1}^k(1 + e^{b/2^i}) \\ &\leq \frac{1}{2^k} \prod_{i=1}^k (e^{b/2^i} + e^{b/2^i}) \\ &= \prod_{i=1}^k e^{b/2^i} \end{align}

Por lo tanto: \begin{align} \log(y_k) &\leq \sum_{i=1}^k \frac{b}{2^i} \rightarrow b \end{align} y por lo $\lim_{k\rightarrow\infty} y_k \leq e^b$.

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Para una respuesta exacta para$c=2, b\neq 0$, ¿por qué no aplicar el mismo método?

\begin{align} \int_0^1 e^{bx} dx &= \int_0^{1/2} e^{bx}dx + \int_0^{1/2} e^{b(x+1/2)}dx \\ &= (1+e^{b/2})\int_0^{1/2} e^{bx}dx \\ &= (1+e^{b/2})\left[ \int_0^{1/4} e^{bx}dx + \int_0^{1/4} e^{b(x+1/4)}dx\right]\\ &= (1+e^{b/2})(1+e^{b/4})\int_0^{1/4}e^{bx}dx \end{align}

y así sucesivamente, con el lado izquierdo de dar la respuesta de $\frac{e^b-1}{b}$? Así que si $c=2$ $b\neq 0$ obtenemos: $$ \lim_{k\rightarrow\infty} y_k = \frac{e^b-1}{b} $$

Aviso que esto es coherente con la Reivindicación 3, ya que $1 < \frac{e^b-1}{b} < e^b$ siempre $b>0$.