La motivación detrás de la topología

Question

¿Cuál es la motivación detrás de la topología?

Por ejemplo, en el análisis real, estamos interesados en rigor el estudio acerca de los límites de lo que podemos usarlos adecuadamente. Del mismo modo, en la teoría de números, estamos interesados en los patrones de estructura y poseído por algebraica de los números enteros y algebraica de los números primos.

Buscar un poco en google y wiki-ing me dio que la topología de estudios sobre la deformación de los objetos en el espacio es decir, como un objeto en el espacio se comporta bajo un mapa continuo. Sin embargo, cuando empecé a leer el tema comienza por definir qué es una topología, es decir, un conjunto de subconjuntos de un conjunto con ciertas propiedades. No veo la conexión inmediatamente. Agradecería si alguien pudiera dar una breve vista de ojo de pájaro de la topología.

Gracias, Adhvaitha

Answer 1

La topología puede significar diferentes cosas en matemáticas, dependiendo del contexto.

Si un matemático se describe a sí mismos como un topologist, esto probablemente significa que el estudio de los diversos tipos de formas (técnicamente, colectores, o relacionados con los tipos de espacios), con un ojo tal vez para la clasificación de ellos (un ejemplo típico es la clasificación de cerrado orientable a través de superficies el número de cuadros que se adjuntan a una esfera), o la comprensión de ciertos invariantes o de otros aspectos de su estructura (por ejemplo, la conjetura de Poincaré, que proporciona una caracterización tridimensional de la esfera en términos de un cierto invariante, es decir, su grupo fundamental).

Por otro lado, los axiomas básicos de la topología de que usted está preguntando acerca de la (topología de un espacio es una colección de subconjuntos, llamado open subconjuntos, que cumplen los siguientes axiomas ...) son mucho más general. Hay una rama de las matemáticas que se centra en el estudio (más o menos) estos axiomas y sus consecuencias (debidamente conocida como topología general, donde en general se refiere a la generalidad de los axiomas), pero esta investigación es bastante diferente en sabor a las matemáticas descritas en el párrafo anterior --- es tal vez más cerca de la teoría de conjuntos que es a la investigación de la topología de colectores y así sucesivamente.

Pero pensando en términos de la asignatura de topología general no es una buena forma de entender el punto de que los axiomas de la topología. Por analogía, pensemos en el grupo de axiomas: hay un bien desarrollados en el área de las matemáticas llamada teoría de grupo que se estudia (más o menos) estos axiomas y sus consecuencias, pero la noción de grupo es omnipresente en las matemáticas, y juega un papel fundamental en muchas áreas de las matemáticas además de la teoría de grupo adecuada (incluida la teoría de números, la topología y la geometría). Así, el grupo de axiomas captura de un concepto que es de fundamental matemática importancia, y es por eso que aislar la noción de grupo y de estudio.

Similarmente, los axiomas de una topología, y las definiciones básicas asociadas a ellos (tales como la continuidad de los mapas, y la conectividad y la compacidad de subconjuntos) fueron formuladas como consecuencia de un lugar de intentar durante los siglos 19 y 20 de aislar y abstracto de los conceptos básicos relacionados con la continuidad y límites. Estos conceptos son, de nuevo, omnipresente en las matemáticas, y así que la noción de topología (en el sentido de los axiomas que le pidieron que se aplican en un gran número de diferentes contextos a lo largo de las matemáticas (no sólo en las áreas estudiadas por topologists o general topologists, pero en la geometría, el análisis, la teoría de los números, las partes del álgebra, lógica, ...). Aunque los axiomas puede parecer inusual, y no relacionado con las nociones de forma y de posición que se puede ver discutido en una intuitiva cuenta de topología, en realidad son cuidadosamente diseñado para capturar, en lenguaje muy general, las nociones de continuidad, proximidad, límites, y así sucesivamente.

Con el fin de ver la verdad de mi última reclamación, usted tendrá que invertir un poco de tiempo a estudiar los axiomas (es decir, el aprendizaje de algunos conceptos básicos de la topología general) y, a continuación, vea cómo se aplica en diversos contextos. Al menos en los Estados Unidos, esto normalmente sucede en avanzados de pregrado y postgrado a partir de los cursos.

Answer 2

Esta matemática.SE pregunta que puede ser relevante, pero no pedagógicamente óptimo.

Pedagógicamente creo que la respuesta más sencilla es axiomatize espacios topológicos a través de la Kuratowski cierre de los axiomas. En lugar de especificar qué propiedades de abrir sets o conjuntos cerrados satisfacer, el Kuratowski cierre de axiomas especificar un cierre operador $S \mapsto \text{cl}(S) de dólares en los subconjuntos de $S$ de un conjunto $X$ y los axiomas que debe satisfacer. Usted debe pensar en el cierre de la axiomatizing resumen de los límites (es decir, $\text{cl}(S)$ aproximadamente corresponde al conjunto de todos los posibles límites de secuencias de elementos de $S$, pero en realidad no; necesitamos reemplazar las secuencias de los filtros o las redes en todos los casos). Entonces los conjuntos cerrados son precisamente aquellos para los cuales $S = \text{cl}(S)$ y el abierto de conjuntos son los complementos de los conjuntos cerrados, como de costumbre.

Vale la pena mencionar que la noción de un espacio topológico es absurdamente general. Para muchas aplicaciones, lo único que necesita para pensar acerca de la topología de mucho más restringido tipos de espacios (por ejemplo, colectores, CW-complejos...). Sin embargo, debido a que es tan general, que puede aplicarse con provecho para muchas áreas de las matemáticas, y debido a que el conjunto de axiomas utilizado es relativamente escasa, las pruebas en todos los casos son en general relativamente corto.

Answer 3

Esto conteste la pregunta en el segundo párrafo.

Imaginar el medio abierto intervalo $[0,1)$, con la costumbre de abrir los conjuntos. En particular, un barrio de de $0$ $0$ misma y de todos los números positivos suficientemente cerca de $0$.

Ahora modificar la definición de "conjunto abierto", de modo que cada abierto barrio de de $0$ no sólo contiene $0$ y todos los números positivos suficientemente cerca de los $0$, pero también todos los números lo suficientemente cerca de $1$. I. e. $[0,\varepsilon)\cup(1-\eta,1)$.

Se puede ver la forma en que se altera la manera en la que todo el espacio está conectada?

Por lo tanto: de cómo el espacio está conectada, es simplemente una cuestión de que los conjuntos son abiertos. Esa es la conexión entre las dos cosas.

Answer 4

Esto no puede ser la respuesta que estás buscando, pero creo que un "pájaro" a la vista de topología es algo duro. Un ejemplo que me pareció un poco esclarecedor, sin embargo, fue cuando pensé por primera vez acerca de la topología del espacio de Baire.

La topología se define en el conjunto de secuencias infinitas sobre los números naturales. La topología se define a ser tal que cada conjunto abierto está dado por el conjunto de todas las secuencias que coinciden en algunas conjunto finito de puntos. Esto puede ser un poco más simple, diciendo que la topología es generado por una base de abiertos de conjuntos dada por secuencias finitas, para cada secuencia finita de asociar el conjunto de secuencias que comienzan con esta secuencia finita, y luego dejar que la topología de ser dado por todos los sindicatos y las intersecciones de estos conjuntos.

Una función continua a partir de este espacio de Baire en el que los números reales (con la métrica de la topología, es decir, la topología generada por la apertura de los intervalos) ahora se corresponden, intuitivamente hablando, para aquellas funciones que dada "suficiente" información acerca de la secuencia (es decir, una lo suficientemente grande como segmento inicial), se obtiene un "suficientemente bueno" aproximación de donde el valor de la totalidad de la secuencia (es decir, un pequeño intervalo dentro del cual el valor será).

Por supuesto, usted puede elegir el codominio a ser, de nuevo, el espacio de Baire. En cuyo caso las funciones continuas corresponden a aquellos en los que un arbitrario gran segmento inicial de la "salida" puede ser generado por dar un gran segmento inicial de la "entrada". Tales funciones continuas son, por lo tanto, en un sentido, las funciones computables, ya que no se quede "colgado".

Yo más bien le gustaba este ejemplo, ya que indica un camino en el que la topología da un sentido de "contenido de información" y las cosas se comportan bien con respecto a la aproximación. Supongo que este lenguaje está más cerca de la topología de su estudiada en áreas como el dominio de la teoría, pero pensé que podría ayudar a considerar la posibilidad de algo no-de la perspectiva geométrica. También se sugieren, como suele ser el caso con las matemáticas, que las cosas interesantes que suceden cuando empiece a considerar la estructura de la preservación de los mapas, y que la definición de una topología es, tal vez, más interesantes, como una manera de ser capaz de describir el concepto de continuidad de una función.

(Como un comentario de que soy consciente de que la topología de Baire es una métrica de la topología, pero tengo la sensación de que la definición en términos de una topología es mucho más natural que en términos de la ultrametric distancia)