Determinar todos los valores de $1^{\sqrt{2}}$

Question

Me parece que no puede entender cómo resolver esto. Quiero decir, si no estuviéramos tratando con números complejos, entonces supongo que es claramente 1, pero no sé cómo acercarse a este. Al parecer, la respuesta es $\cos(2\sqrt{2} k \pi) + i\sin (2 \sqrt{2} k \pi)$, pero no sé cómo seguir con esto. Empiezo con la configuración de a $e^{\sqrt{2}ln(1)}$? Incluso entonces, $ln(1) = 0$, e $e^\sqrt{2}$ es solo que... no estoy seguro de cómo ir sobre esto.

En definitiva, ¿cómo puedo ir de$1^{\sqrt{2}}$$\cos(2\sqrt{2} k \pi) + i\sin (2 \sqrt{2} k \pi)$?

Answer 1

Sugerencia: Recordar que $e^{x+iy}$ donde $x,y\in\mathbb{R}$ es igual a $e^x(\cos(y)+i\sin(y))$. Lo complejo de los valores de $z$ dar $e^z=1$?

La expansión de la sugerencia: Podemos empezar con $e^{\sqrt{2}\log(1)}$. La solución de la ecuación anterior, podemos ver que $e^{z}$ es uno precisamente en $2\pi ik$$k\in\mathbb{Z}$, lo $\log(1)=\{2\pi i k|k\in\mathbb{Z}\}$. Enchufar, tenemos el conjunto de $e^{2\sqrt{2}\pi i k}$$k\in\mathbb{Z}$. Expandiendo de acuerdo a lo anterior, hemos $e^{2\sqrt{2}\pi i k}=\cos(2\sqrt{2}\pi k)+i\sin(2\sqrt{2}\pi k)$, y se llega a la respuesta.

El remate aquí es que $\log(z)$ todavía es la inversa de a $e^z$, pero $e^z$ es de no más de 1-1 y, por tanto, $\log(z)$ sólo puede ser un local inversa, y hay alguna opción que intervienen en la rama a la selección.