¿Cómo se podría resolver el siguiente, de dar la respuesta como una forma cerrada, no como una estimación:
$$\text{Solve }x^4-2 x^2-x+1 = 0\text{ for } x$$
Donde $x$ $\text{real.}$
Creo que este es uno muy duro. Cualquier ayuda será muy apreciada.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Como otros han mencionado, no existen soluciones racionales, pero usted puede encontrar la solución exacta a través de la fórmula de una función cuártica (aunque por qué se necesita es otra cuestión). El hecho de que el coeficiente de $x^3$ es cero hace las cosas un poco más fácil, pero no por mucho.
Para: $$a x^4 + c x^2 + d x + e=0$$ Las soluciones son: $$x_{1,2}=-S\pm \frac{1}{2}\sqrt{-4S^2+\frac{d-2cS}{Sa}}$$ $$x_{3,4}=+S\pm \frac{1}{2}\sqrt{-4S^2-\frac{d+2cS}{Sa}}$$ Donde: $$S=\frac{1}{2\sqrt{3a}}\sqrt{-2c+Q+\frac{\Delta_0}{Q}}$$ $$Q=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\sqrt[3]{\Delta_1+\sqrt{\Delta_1^2-4\Delta_0^3}}$$ $$\Delta_0=c^2+12ae,\ \ \Delta_1=2c^3+27ad^2-72ace$$
En su caso, de las dos soluciones reales, se $x_{3,4}$, y se puede comprobar que: $$Q = \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(155+3 \sqrt{849}\right)}$$ $$S=\frac{1}{2\sqrt{3}} \sqrt{4+Q+\frac{16}{Q}}$$ $$ x= S \pm \frac{1}{2\sqrt{3a}} \sqrt{4 + \frac{1}{S} - 4 S^2} \simeq 0.5249, 1.4902$$
