Econometría texto afirma que la convergencia en distribución implica la convergencia en los momentos

Question

El siguiente lema se puede encontrar en Hayashi, la Econometría:

Lema 2.1 (convergencia en la distribución y en los momentos): Vamos a $\alpha_{sn}$ $s$- ésimo momento de la $z_{n}$, e $\lim_{n\to\infty}\alpha_{sn}=\alpha_{s}$ donde $\alpha_{s}$ es finito (es decir, un número real). Entonces:

"$z_{n} \to_{d} z$" $\implies$ "$\alpha_{s}$ es el $s$-ésimo momento de la $z$."

Así, por ejemplo, si la varianza de una secuencia de variables aleatorias de la convergencia en distribución converge para algún número finito, entonces ese número es la varianza de la limitación de la distribución

Hasta donde yo entiendo, no hay más supuestos en $z_{n}$ que se puede deducir a partir del contexto. Ahora considere una secuencia de variables aleatorias definidas por $z_{n} = n\mathbb{1}_{[0,\frac{1}{n}]}$ en uniforme de probabilidad, medida en $[0,1]$.

A continuación,$z_{n} \to_{d} 0$, pero $(\forall n)\ E(z_{n}) = 1 \to 1 \neq 0 = E(0)$.

Si estoy leyendo el anterior lema correctamente, $\{z_n\}$ proporciona un contraejemplo.

Pregunta: Es el lema falso? Hay una relacionada con el resultado de que especifica las condiciones generales en las que la convergencia en distribución implica la convergencia en los momentos?

Answer 1

Suficiente condición adicional es que de integrabilidad uniforme, es decir, que $$\lim_{M\to\infty} \sup_n \int_{|X_n|>M}|X_n|dP= \lim_{M\to\infty} \sup_n E [|X_n|1_{|X_n|>M}]=0.$$ Entonces, uno tiene que $X$ es integrable y $\lim_{n\to\infty}E[X_n]=\mathbb{E}[X]$.

De forma heurística, esta condición reglas que hay todavía "extrema" de las contribuciones a la integral (expectativa) asintóticamente.

Ahora bien, esto es precisamente lo que sucede en su contraejemplo, como nunca la mente con la probabilidad de fuga - $z_n$ puede tomar la divergentes valor de $n$. Algo más precisamente, $E[|z_n|1_{\{|z_n|>M\}}]=E[z_n1_{\{z_n>M\}}]=1$ todos los $n>M$. Por lo tanto, $E[z_n1_{\{z_n>M\}}]$ no convergen uniformemente a cero, ya que no podemos encontrar una $N$ tal que $E[z_n1_{\{z_n>M\}}]<\epsilon$ todos los $n\geq N$ $\epsilon>0$ y todos los $M$.

Una condición suficiente para la integrabilidad uniforme es $$\sup_n E[|X_n|^{1+\epsilon}]<\infty$$ para algunos $\epsilon>0$.

Y mientras no cumplan la condición suficiente es, por supuesto, ninguna prueba de la falta de integrabilidad uniforme, es aún más directo para ver que esta condición no se cumple, como $$E[|X_n|^{1+\epsilon}]=n^\epsilon,$$ que evidentemente no tiene un número finito de $\sup$$n$.

Answer 2

De hecho, es un conocido fe de erratas de este libro (ver su página web en la fe de erratas .pdf), que el lema no indica el momento-acotamiento condición de $$\exists \; \delta : E(|z_n^{s+\delta}|) < M < \infty\;\; \forall n$$