¿Cómo probar que la suma y el producto de dos números algebraicos es algebraico?

Question

Supongamos que $E/F$ es una extensión de campo y $ \alpha , \beta \in E$ son algebraicos sobre $F$ . Entonces no es muy difícil ver que cuando $ \alpha $ es un no-cero, $1/ \alpha $ también es algebraico. Si $a_0 + a_1 \alpha + \cdots + a_n \alpha ^n = 0$ y luego dividiendo por $ \alpha ^{n}$ da $$a_0 \frac {1}{ \alpha ^n} + a_1 \frac {1}{ \alpha ^{n-1}} + \cdots + a_n = 0.$$

¿Hay una forma elemental similar de mostrar que $ \alpha + \beta $ y $ \alpha \beta $ también son algebraicos (es decir, encontrar una fórmula explícita para un polinomio que tiene $ \alpha + \beta $ o $ \alpha\beta $ como su raíz)?

La única prueba que conozco de este hecho es aquella en la que demuestras que $F( \alpha , \beta ) / F$ es una extensión de campo finito y por lo tanto una extensión algebraica.

Answer 1

La construcción relevante es la Resultado: de dos polinomios. Si $x$ y $y$ son algebraicos y $P(x) = Q(y) = 0$ y $ \deg Q=n$ entonces $z=x+y$ es una raíz de la resultante de $P(x)$ y $Q(z-x)$ (donde tomamos este resultado en relación con $Q$ como un polinomio en sólo $x$ ) y $t=xy$ es una raíz de la resultante de $P(x)$ y $x^n Q(t/x).$

Answer 2

Bien, estoy dando una segunda respuesta porque esta es claramente distinta de la primera. Recuerda que encontrar un polinomio sobre el cual $ \alpha + \beta $ o $ \alpha \beta $ es una raíz de $p(x) \in F[x]$ es equivalente a encontrar el valor propio de una matriz cuadrada sobre $ \mathbb Q$ ya que puedes unir el polinomio $p(x)$ a la matriz compañera $C(p(x))$ que tiene precisamente un polinomio característico $p(x)$ por lo tanto, los valores propios de la matriz compañera son las raíces de $p(x)$ .

Si $ \alpha $ es un valor propio de $A$ con eigenvector $x \in V$ y $ \beta $ es un valor propio de $B$ con eigenvector $y \in W$ y luego usando el producto tensorial de $V$ y $W$ a saber $V \otimes W$ podemos calcular $$ (A \otimes I + I \otimes B)(x \otimes y) = (Ax \otimes y) + (x \otimes By) = ( \alpha x \otimes y) + (x \otimes \beta y) = ( \alpha + \beta ) (x \otimes y) $$ para que $ \alpha + \beta $ es el valor propio de $A \otimes I + I \otimes B$ . También, $$ (A \otimes B)(x \otimes y) = (Ax \otimes By) = ( \alpha x \otimes \beta y) = \alpha \beta (x \otimes y) $$ por lo tanto $ \alpha \beta $ es el valor propio de la matriz $A \otimes B$ . Si quieres expresiones explícitas para los polinomios que buscas, sólo tienes que calcular el polinomio característico de los productos tensores.

Espero que eso ayude,

Answer 3

Deje que $ \alpha $ tienen un polinomio mínimo $p(x)$ y dejar $ \beta $ tienen un polinomio mínimo $q(x)$ . Luego $V = F[x, y]/(p(x), q(y))$ es un espacio vectorial de dimensiones finitas sobre $F$ de dimensión $ \deg p \deg q$ (no es necesariamente la misma dimensión que $F( \alpha , \beta )$ por ejemplo cuando $ \alpha = \beta $ ); además, tiene una base explícita $$x^i y^j : 0 \le i < \deg p, 0 \le j < \deg q.$$

$xy$ y $x + y$ actuar por multiplicación a la izquierda en $V$ y se pueden anotar matrices explícitas para esta acción en la base anterior en términos de los coeficientes de $p$ y $q$ . Ahora aplica el teorema de Cayley-Hamilton.

Este argumento prueba el resultado más fuerte que si $F$ es el campo de fracción de algún dominio $D$ y $ \alpha , \beta $ son integrales sobre $D$ (por lo tanto $p, q$ son monos con coeficientes en $D$ ) entonces también lo son $ \alpha \beta , \alpha + \beta $ .

Answer 4

Técnicamente, podrías encontrar los automorfismos del cierre de Galois de $F( \alpha , \beta )$ sobre $F$ (asumiendo que esta extensión es separable) y computar el polinomio $$ \prod_ { \sigma \in \mathrm {Gal}}(x- \sigma ( \alpha + \beta )) $$ o lo mismo con $ \alpha \beta $ pero no creo que esto sea lo que estás buscando. Ya que puedes definir los cierres de Galois sin saber que $ \alpha + \beta $ y $ \alpha \beta $ son también algebraicos, es una forma legítima de probarlo, pero no una práctica ni pedagógica.

Espero que eso ayude,