Hay un nombre para regular semigroup con cero en el que el producto de dos diferentes idempotents es cero?

Question

Como dice el título, mi pregunta es: ¿hay un nombre para un regular semigroup con cero en el que el producto de cualquier dos diferentes idempotents es cero? Tenga en cuenta que cualquier semigroup es necesariamente un ortodoxa semigroup porque el cero es un idempotente. Pero hay ortodoxa semigroups no de esta forma.

La misma pregunta se le puede pedir al caer "regular", en cuyo caso el semigroup sólo es conocido por ser un E-semigroup. Pero, de nuevo, en un E-semigroup, el producto de dos diferentes idempotents no es necesariamente cero.

Lo que me motivó a hacer esta pregunta es que en la Marca semigroup con cinco elementos (por lo general denotado por $B_2$), y que tiene la presentación $\langle a, b\; |\; a^2 = b^2 = 0, aba = a, bab = b \rangle$, usted tiene $(ab)(ba) = (ba)(ab) = 0$. $B_2$ es una inversa semigroup, en realidad un completo 0-simple inversa semigroup, una clase que se ha estudiado bien.

EDIT: Embarazoso momento! El ejemplo de abajo es no , en realidad la motivación de esta cuestión, porque no hay (al menos uno) de productos de diferentes idempotents en ella, es decir, $(pd)(qd) = pd$ que en realidad no es cero, ni en el ejemplo que he dado aquí, ni en mi aplicación real. Dos personas ya upvoted esta pregunta (uno antes de que me escribió el ejemplo), así que no estoy seguro de si debe eliminar del todo la pregunta, pero es posible que la clase estoy preguntando sobre (en el título y en el texto por encima de este párrafo) es más bien trivial consiste solamente en la inversa semigroups (con cero) o algo por el estilo.

Corrí sin embargo, en un Equipo real la aplicación de la Ciencia, pero que es demasiado largo detallar aquí) en la siguiente semigroup que tiene la misma propiedad con respecto a su idempotents (es decir, el producto de los dos diferentes es cero), pero que definitivamente no es una inversa semigroup pero sólo ortodoxos. La diferencia básica entre esta y la de $B_2$ es que en lugar de dos generadores, hay tres, $p$, $q$, y $d$, de tal manera que $V(d) = \{p, q\} $, $V(p) = \{d\}$, y $V(q) = \{d\}$ ($V(x)$ denota los inversos de $x$ por la notación habitual), la presentación de la semigroup ser (espero que no falta de nada): $$\langle d, p, q\; |\; d^2=p^2=q^2=pq=qp=0, pdp=p, qdq=q, dpd=dqd=d \rangle$$

Así que el semigroups pido un nombre para sí parecen existir en un algo no trivial de la forma. Si "romper juntos" $p$$q$, lo que técnicamente significa tomar el cociente por el mínimo inversa semigroup congruencia, consigue $B_2$ a partir de este ortodoxa semigroup, pero eso no es realmente emocionante.

Answer 1

Para lo que vale aquí es una caracterización de lo finito semigroups que son regulares con cero en el que el producto de dos diferentes idempotents es igual a cero.

Si $S$ $T$ son semigroups con cero, entonces el 0-unión de $S$ $T$ es el semigroup constituida por la unión de $S$$T$, pero la identificación de sus cero elementos, y con la multiplicación de la ampliación de la de $S$ $T$ $st=ts=0$ todos los $s\in S$$t\in T$.

De un número finito de Brandt semigroup $S$ es finita 0-simple inversa semigroup (un semigroup donde no hay no-cero ideales, y en la que cada elemento $x\in S$ tiene un único $x^{-1}\in S$ tal que $xx^{-1}x=x$$x^{-1}xx^{-1}=x^{-1}$).

De un número finito de regular semigroup $S$ con cero tiene la propiedad de que el producto de los dos distintos idempotents es igual a cero si y sólo si es un 0-unión de Brandt semigroups.

Por el contrario, vamos a $B_i$, $i\in \{1,\ldots, n\}$ para algunos $n\in \mathbb{N}$ ser Brandt semigroups, y deje $S$ denotar el 0-unión de la $B_i$. A continuación, $S$ es una inversa semigroup, y por lo tanto regular. El $\mathscr{J}$-clases de $S$ son sencillamente $\{0\}$, e $B_i\setminus\{0\}$ todos los $i$. Supongamos que $e\in B_i$ $f\in B_j$ son idempotents, y $e\not=f$. Si $i\not=j$, $ef=0$ por la definición de la multiplicación en el 0-unión. Si $i=j$, $ef$ es el producto de los distintos idempotents en un $\mathscr{J}$-clase de un número finito inversa semigroup, y por lo $ef\not\in B_i$. Por lo tanto $ef=0$, según se requiera.

Deje $S$ ser finito regular semigroup con la propiedad de que el producto de los dos distintos idempotents es igual a $0$. Empezamos mostrando que $S$ es una inversa semigroup. Esto es suficiente para mostrar que todos los $\mathscr{L}$ - $\mathscr{R}$- clase de $S$ contiene exactamente un idempotente. Desde $S$ es regular, cada $\mathscr{L}$ - $\mathscr{R}$- clase contiene al menos un idempotente.

Supongamos que $e\in S$ es un no-cero idempotente. Si no existe $f\in S$ tal que $e\mathscr{L}f$, entonces no existe $x\in S$ tal que $xe=f$. Por lo tanto $x\cdot ef=f^2=f$$ef\mathscr{L}f$, y, en particular, $ef\not=0$. Esto contradice la suposición, y por lo tanto cada $\mathscr{L}$-clase de $S$ contiene exactamente un idempotente. Un doble argumento muestra que todos los $\mathscr{R}$-clase de $S$ contiene exactamente un idempotente, y así $S$ es una inversa semigroup.

Supongamos que hay distinto de cero elementos $x,y\in S$ tal que $S^1xS^1\subsetneq S^1yS^1$. Deje $J_x$ $J_y$ el valor del $\mathscr{J}$-clases de $x$$y$$S$, respectivamente. Desde $S$ es regular, existen idempotents $e\in J_y$$f\in J_x$, y no existe $u,v\in S$ tal que $f=uev$. Por lo tanto $fv^{-1}\mathscr{R}f$$u^{-1}f\mathscr{L}f$, y así, desde la $\mathscr{L}$ es un derecho de la congruencia, $u^{-1}fv^{-1}\mathscr{L}fv^{-1}\mathscr{R}f$, es decir,$u^{-1}fv^{-1}\mathscr{D}f$. En particular, $u^{-1}fv^{-1}\not=0$. Pero $u^{-1}fv^{-1}=(u^{-1}u)e(vv^{-1})$ es un producto de idempotents, que no es igual a $0$. De ello se sigue que $u^{-1}u=vv^{-1}=e$, lo que implica que $u^{-1}fv^{-1}=e$$e\mathscr{J}f$, una contradicción.

De ello se sigue que la unión de $\mathscr{J}$-clase y $\{0\}$ es un subsemigroup de $S$, $0$- simple y a la inversa, es decir, un Brandt semigroup. En el párrafo anterior, se deduce que el $S$ es el 0-unión de estos Brandt semigroups, lo que completa la prueba.