Encontrar los vectores propios con Valores propios repetidos

Question

Tengo una matriz de $A = \left(\begin{matrix} -5 & -6 & 3\\3 & 4 & -3\\0 & 0 & -2\end{matrix}\right)$ por lo cual estoy tratando de encontrar los Valores y vectores propios. En este caso, he repetido los Autovalores de a$\lambda_1 = \lambda_2 = -2$$\lambda_3 = 1$.

Después de encontrar la matriz de sustitución de $\lambda_1$$\lambda_2$, me da la matriz $\left(\begin{matrix} 1 & 2 & -1\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right)$ después de la fila-reducción.

Para encontrar el resultado de $\left(\begin{matrix} 1 & 2 & -1\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right)$ $\left(\begin{matrix} e_1\\e_2\\e_3\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 0\\0\\0\end{matrix}\right)$, me puse a $e_2$ $e_3$ libre de las variables de $s$$t$, respectivamente, resuelto por $e_1$ y poner en el vector de la forma:

$$\left[\begin{matrix} -2s + t\\s\\t\end{matrix}\right] = s \left[\begin{matrix} -2\\1\\0\end{matrix}\right] + t \left[\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}\right]$$

Así que para los dos primeros vectores propios, encontré $v_1 = [-2, 1, 0]^{T}$$v_2 = [1, 0, 1]^T$. Sin embargo, la comprobación de mi respuesta en Wolfram Alpha, $v_1$ es asignado a la misma y $v_2$ es asignado a la primera. ¿Importa esto?

Si es así, debo lugar de encontrar el primer Autovector de a $\lambda_1$ a continuación, utilizando el mismo reducido conjunto de la matriz es igual al resultado de las $v_1$, en lugar del vector cero para $\lambda_2$? I. e., la resolución de la anterior matriz de $\lambda_1$: $$e_1 = -2e_2 + e_3 \rightarrow 1 = -2(0) + 1 $$ $$v_1 = [1, 0, 1]^T$$

Y, a continuación, para $\lambda_2$:

$$\left(\begin{matrix} 1 & 2 & -1\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} e_1\\e_2\\e_3\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 1\\0\\1\end{matrix}\right)$$

Sin embargo, el uso de $e_3$ como una variable libre donde $e_3 = 0$, no entiendo el por encima de vector encontré por $v_1$:

$$e_1 + 2e_2 = 1 \rightarrow 1(2) + 2(-1/2) = 1$$ $$v_2 = [2, -1/2, 0]^T$$

¿Qué estoy haciendo mal aquí?

Answer 1

No es una buena idea para etiquetar sus autovalores $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\lambda_3$; no son tres autovalores, sólo hay dos; a saber,$\lambda_1=-2$$\lambda_2=1$.

Ahora para el autovalor $\lambda_1$, hay una infinidad de vectores propios. Si usted lanza el vector cero en el conjunto de todos los vectores propios de a $\lambda_1$, luego de obtener un espacio vectorial, $E_1$, se llama el subespacio propio de la autovalor $\lambda_1$. Este espacio vectorial tiene dimensión en la mayoría de la multiplicidad de $\lambda_1$ en el polinomio característico de a $A$. En este caso, mirando el polinomio característico de a $A$, vemos que la dimensión del subespacio propio $E_1$ es en la mayoría de los dos.

Como se determina la dimensión de $E_1$ es exactamente dos, como se encontró en dos vectores propios de a $\lambda_1$. Su autovectores $v_1$ $v_2$ formulario de una base de $E_1$. No importa que WA enumerados en el orden opuesto, son dos vectores propios independientes para $\lambda_1$; y cualquier vector propio de a $\lambda_1$ es una combinación lineal de $v_1$$v_2$.

Ahora lo que necesita para encontrar los vectores propios de a $\lambda_2$. Nota: la dimensión del subespacio propio debe ser uno aquí (desde la multiplicidad de $\lambda_2$ en el polinomio característico es: 1).