Hausdorff compacto y C^*-álgebra "objetos" en una categoría.

Question

Esto es más sobre "objetos algebraicos en el análisis funcional".

Desde Espacios compactos de Hausdorff son algebraicas sobre Set, parece deducirse que se pueden encontrar "objetos Hausdorff compactos" en cualquier categoría adecuada que represente functores de esa categoría a CompHaus.

Un functor de este tipo es el espectro de un unital $C^*$ -álgebra. Esto parece implicar que $\mathbb{C}$ es un objeto compacto de Hausdorff en la categoría de unital $C^*$ -álgebras. Entonces:

Pregunta 1 : ¿Esto es correcto?

Seguido de lo obvio:

Pregunta 2 : ¿Existen otros objetos "Compact Hausdorff" interesantes en otras categorías?

Del mismo modo, $C^\ast$ -es algebraica, y mientras que los espacios de Banach no son algebraicos, se inscriben en una teoría algebraica (de espacios totalmente convexos ). De nuevo, a cualquier espacio compacto de Hausdorff se le puede asignar su $C^\ast$ -de funciones continuas a $\mathbb{C}$ . Esto sugiere que $\mathbb{C}$ es un " $C^\ast$ -algebra" en CompHaus - excepto que $\mathbb{C}$ no es un espacio compacto de Hausdorff. Sin embargo, tenemos una salida debido a que $C^\ast$ -son algebraicas: debemos pensar en la bola unitaria y ésta es una función continua al disco unitario cerrado en $\mathbb{C}$ que es Hausdorff compacto. Por lo tanto $\{z \in \mathbb{C} : |z| \le 1\}$ parece ser un $C^\ast$ -en espacios compactos de Hausdorff. Otra vez:

Pregunta 3 : ¿Esto es correcto?

y

Pregunta 4 : ¿Hay algún otro " $C^\ast$ -¿objetos "álgebra" en otras categorías?

y

Pregunta 5 : ¿Hay algún objeto "espacio de Banach" (o "espacio totalmente convexo") flotando por ahí?

Answer 1

Esta "respuesta" incluso no llegar tan lejos como de las respuestas a la pregunta 1, pero voy a seguir adelante de todos modos.

Todo lo que quiero decir es lo que yo pienso "compacto Hausdorff objeto espacial" debe ser definido. Este debería ser el equivalente a lo que dijo Sridhar, aunque no he dejado de pensar en ella.

Deje $\mathcal{E}$ ser una categoría con productos pequeños. Un compacto Hausdorff objeto en $\mathcal{E}$ debe ser un objeto de $X$ $\mathcal{E}$ junto con, para cada conjunto $I$ y ultrafilter $U$$I$, una función \[ \xi_U: X^I \a X \] la satisfacción de algunos axiomas que yo soy demasiado perezoso para escribir, pero voy a explicar un poco en un momento.

Al $\mathcal{E} =$ Set, usted puede pensar de $\xi_U$ como la especificación de la $U$-límite de cada una de las $I$-indexado de la familia de los puntos de $X$. (Que no es exactamente un punto límite es el compacto de Hausdorff de la propiedad.) Un axioma indica lo que sucede cuando $U$ es el principal ultrafilter en algunos $i \in I$: a continuación, $\xi_U$ envía una familia x a $x_i$. Una segunda dice algo acerca de los límites de los límites. Una tercera (y creo que sólo hay tres) dice algo acerca de lo que sucede cuando usted tiene un mapa de $I \to J$.

Esta formulación no viene de la nada, no se sorprendió al escuchar---hay un proceso sistemático para la toma de una especie de mónada en el Conjunto y la producción de una definición de su "álgebras de" en cualquier categoría de productos. Pero no voy a entrar en eso ahora.

Answer 2

Pregunta 1: Si le he entendido bien, está proponiendo que $\mathbb{C}$ debe ser un objeto Hausdorff compacto en alguna categoría porque representa un functor desde esa categoría a la categoría CH de espacios Hausdorff compactos (en algo así como el sentido en que el functor $Hom(-, \mathbb{C})$ en factores de Conjunto a través del functor olvidadizo de CH a Conjunto). Pero no veo por qué esto debería ser suficiente para que $\mathbb{C}$ un objeto compacto de Hausdorff.

Es decir, presumiblemente, desde el enfoque de la semántica functorial, un objeto compacto de Hausdorff en una categoría C debería ser un functor producto-preservador de L a C, donde L es el dual de la categoría de Kleisli para la mónada ultrafiltro sobre Set (es decir, L es la teoría de Lawvere cuya categoría de (Set-)modelos es la categoría de espacios compactos de Hausdorff). Puedo ver cómo, de forma más general, para cualquier teoría de Lawvere L y categoría C, cada modelo-C de L (es decir, un funtor preservador del producto F de L a C) induce un funtor representable Hom(-, F(1)) de C a Conjunto que factoriza a través del funtor olvidadizo de modelos de Conjunto de L a Conjunto. Pero no me parece obvio que la inversa de esto también sea válida (que todo functor representable de C a Conjunto con esta propiedad de factorización surja de algún modelo-C de L).

Tal vez me estoy perdiendo algo y su razonamiento para $\mathbb{C}$ ser un objeto compacto de Hausdorff es algo más que esto. Tal vez estoy irremediablemente confundido. Pero, provisionalmente, creo que la respuesta a la pregunta 1 es "No" o, al menos, "No necesariamente".

(Edición: Como se ve a continuación, la correspondencia sí va en ambos sentidos, por lo que la última línea se retrae, dejando la penúltima...)

Answer 3

El artículo "Bohrification" arXiv:0905.2275 puede ser relevante para la pregunta 4. Según tengo entendido, discuten la noción de $C^\ast$ -en un topos dado.