El Gelfrand dualidad dice que la categoría de localmente compacto Hausdorff espacios (con las debidas funciones continuas) es equivalente a la categoría de conmutativa $C^*$ álgebras (con las debidas $*$-homomorphisms). Por ejemplo, de $X$ es un espacio topológico, entonces $C_0(X) = \{f: X\to \mathbb{C}, f$ es continua y $f$ se desvanece en $\infty \}$ es su relativa $C^*$ álgebra. Podemos ir a otro lado, buscando en un $C^*$ álgebra $\mathcal{A}$, y tomando su conjunto de caracteres $\text{Hom}(\mathcal{A},\mathbb{C})$ bajo pointwise convergencia para recuperar el espacio topológico.
Así que decir que uno tiene un conmutativa $C^*$ álgebra $\mathcal{A}$, ¿cómo hace uno para recuperar invariantes topológicos, como dicen, el número de componentes conectados de $\text{Hom}(\mathcal{A},\mathbb{C})=X$, $\mathcal{A}$ sí?
Esto es incluso posible? O soy yo, erróneamente, de la afirmación de que la equivalencia de categorías que dice algo acerca de los objetos individuales?
editar muchas de las respuestas se centran en el número de componentes conectados, que me aprecia, pero que solo era un ejemplo del tipo cualitativo de la información que me gustaría recuperar. Se puede recuperar la homología singular de $X$$\mathcal{A}$ ? El grupo fundamental? Es metrizable X?
