Hay Generalizaciones de un Límite (para Secuencias divergentes)?

Question

Hay ciertas secuencias, tales como

0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...

que no convergen, sino que pueden ser asignados de forma generalizada límite. Dicha secuencia se dice que divergen, aunque en este caso una frase como tiene una órbita podría ser preferible.

Una manera de generalizar el límite teniendo en cuenta la secuencia de medios acumulados: dada una secuencia de

un₁, un₂, un₃, un₄, ...

el acumulado de la secuencia media sería

un₁, (₁+₂)/2, (a₁+a₂+a₃)/3, (a₁+a₂+a₃+a₄)/4, ...

Si esta secuencia tiene un límite, entonces la secuencia original se puede decir que tienen ese valor como su generalizadas límite. De esta manera, el ejemplo de la secuencia de arriba, tiene la generalizada límite de 1/2; esto parece natural, como la secuencia oscila en torno a este 'significa' valor.

Hay un nombre para este tipo de generalizada límite? ¿Hay otras formas de definir tal cosa. ¿Sabes de algún buen en-línea de referencia para esta?

Gracias.

Answer 1

Un buen libro sobre este tipo de cosas son "Clásicos y modernos métodos en summability" por Abucheos y Cass.

Answer 2

Otra técnica común es Abel suma, que funciona un poco mejor que Cesaro suma. Zeta regularización también es importante en la física.

Usted puede disfrutar de la lectura de estos posts en Todo El Seminario y esta columna de Juan Báez.

Answer 3

En menos términos prácticos, se puede asignar un(n extendida) límite a cualquiera limitada secuencia, una vez que usted tiene un ultrafilter (en los números naturales) en la mano: sea F su ultrafilter (que es lo que hace que sea menos práctico). Entonces para cualquier delimitada de la secuencia x_n existe un único x tal que para todo ε>0 el conjunto {n: |x_n-x|<ε} está contenido en F. Definir este x es el límite de x_n.

Para la secuencia 0,1,0,1,... de esta forma se asigna ya sea 0 o 1 como el límite dependiendo de si el elegido ultrafilter contiene el conjunto de o, incluso, el conjunto de los números naturales impares.

Esta ampliación de la noción de límite todavía se

• un álgebra de homomorphism (desde delimitada secuencias de números),
• es acotado (es decir. toma su valor entre el infimum y supremum de la secuencia), y
• no es principal (que es diferentes secuencias en un número finito de índices sólo se le ha asignado el mismo límite).

Tenga en cuenta que acotamiento y no principado bastan por sí solos para demostrar que para secuencias convergentes (en el sentido usual de la palabra) no conseguimos nada nuevo: la noción ampliada de acuerdo con la clásica.

Por supuesto, hay algo para ser sacrificado: la ampliación de límite, por ejemplo, ya no se shift-invariante (lo que significa que x_n y x_n+h puede tener diferentes límites).

Más detalles se pueden encontrar en el siguiente muy informal folleto escribí para un estudiante coloquio de hablar hace un par de años. Yo también recomiendo Terry Tao relacionados con el blog.

Answer 4

Cesaro suma (el proceso que describa) define un funcional lineal sobre un subespacio del espacio de Banach delimitada secuencias (es decir, aquellas secuencias que son cesaro summable). El uso de Hahn-Banach (o una de sus variantes), se puede extender esta lineal funcional a todo el espacio de secuencias delimitadas, y la extensión SERÁ de turno invariante. Sin embargo, la extensión no es única y su existencia depende del Axioma de elección.

Ver la entrada de Wikipedia para Banach límite para obtener más información.

Answer 5

Otra posibilidad es mirar cómo se distribuyen los valores de y a ver si los que converge a algunos de distribución. Esto se utiliza sobre todo en estocástica de la serie (por ejemplo, la gente quiere construir cadenas de Markov que convergen a una cierta distribución de interés).