La diferenciabilidad de $f(x)= 2-\mathrm{e}^{-x}$ cuando $x\geq 0$, $\mathrm{e}^{-x}$ de lo contrario,

Question

Quiero comprobar cualquier $x_0$ en su dominio, si esta función es derivable o no. $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \begin{cases} 2-\mathrm{e}^{-x} & ;\ x\geq 0 \\ \mathrm{e}^{-x} & ; x < 0 \end{casos}$

Para $x \neq 0$ $f$ obviamente diferenciable. Considere la posibilidad de $x=0$

$\lim\limits_{x \downarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}= \lim\limits_{x \downarrow 0}\frac{2-\mathrm{e}^{-x}-2+\mathrm{e}^0}{x}=\lim\limits_{x \downarrow 0} \frac{-\mathrm{e}^{-x}+1}{x} \overset{L'Hôpital}{=} \lim\limits_{x \downarrow 0}\frac{\mathrm{e}^{-x}}{1}=1$

$\lim\limits_{x \uparrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}= \lim\limits_{x \uparrow 0}\frac{\mathrm{e}^{-x}-1}{x} \overset{L'Hôpital}{=} \lim\limits_{x \uparrow 0}\frac{-\mathrm{e}^{-x}}{1}=-1$

Desde la mano derecha y la mano izquierda en el límite no son coincidentes, $f$ $x_0=0$ no diferenciable.

Podría alguien decirme por favor, si esto es correcto?

Answer 1

Estás en lo correcto. Geométricamente, usted puede ver por qué. La gráfica es la gráfica de $x \mapsto e^{-x}$ con la parte en el primer cuadrante refleja a través de la línea de $y=1$. Esto significa que el (nonhorizontal) recta tangente en $x=0$ en el gráfico original se convierte en "roto" después de la reflexión, ya que ahora cambia abruptamente de dirección no. I. e., la izquierda y la derecha derivados a $x=0$ no está de acuerdo, que se han demostrado analíticamente.