subespacio denso de $\beta \Bbb N \times \beta \Bbb N$

Question

Deje $\beta \Bbb N$ ser un Čech-Piedra compactification del espacio discreto $\Bbb N$ y fijar un punto de $p\in \beta \Bbb N\setminus \Bbb N$. Poner $X=\Bbb N\cup \{p\}$$Y=\beta \Bbb N \setminus \{p\}$. Tengo dos preguntas,

1. $Z=(X\times Y)\cup \{(p,p)\}$ es denso en $\beta\Bbb N\times \beta\Bbb N$ ?

2. $\{(p,p)\}$ es cerrado en $Z$?

Answer 1

$\newcommand{\cl}{\operatorname{cl}}$Sí, y sí. $\Bbb N\times\Bbb N$ es denso en $\beta\Bbb N\times\beta\Bbb N$, lo $Z$ es sin duda, y $Z$$T_1$, por lo que todos los embarazos únicos están cerrados.

Responder a dos preguntas de los comentarios: Deje $U=\{\langle n,n\rangle:n\in\Bbb N\}$.

1. ¿Por qué es $U$ clopen en $X\times Y$? $\Bbb N$ es un denso conjunto de puntos aislados en $\beta\Bbb N$, por lo que cada subconjunto de $\Bbb N\times\Bbb N$ está abierto en $\beta\Bbb N\times\beta\Bbb N$ y, por tanto, en $X\times Y$. Esto también muestra que $U$ no tiene límite de puntos en $\Bbb N\times\Bbb N$. Para cada una de las $n\in\Bbb N$ y $q\in\Bbb N\setminus(\Bbb N\cup\{p\})$, $(X\setminus\{n\})\times\{n\}$ es un espacio abierto de nbhd de $\langle p,n\rangle$ disjunta de a $U$, e $\{n\}\times(Y\setminus\{n\})$ es una nbhd de $\langle n,q\rangle$ disjunta de a $U$. Y desde $p\ne q$, hay un $A\subseteq\Bbb N$ tal que $A\in p\setminus q$; a continuación,$\Bbb N\setminus A\in q$, e $(\{p\}\cup A)\times\cl_Y(\Bbb N\setminus A)$ es una nbhd de $\langle p,q\rangle$ disjunta de a $U$. Cada punto de $(X\times Y)\setminus(\Bbb N\times\Bbb N)$ es de uno de los tres tipos, por lo $U$ no tiene límite de puntos en $X\times Y$, y es por lo tanto cerrados como abiertos.

2. ¿Por qué es $\langle p,p\rangle\in\cl U\cap\cl\big((X\times Y)\setminus U\big)$, donde el cierre es tomado en $\beta\Bbb N\times\beta\Bbb N$ (y, por tanto, en $X\times\beta\Bbb N$)? El punto de $\langle p,p\rangle$ tiene una base local que consta de todos los conjuntos de la forma$\cl_{\beta\Bbb N}A\times\cl_{\beta\Bbb N}B$$A,B\in p$. Si $A,B\in p$,$A\cap B\ne\varnothing$, así que vamos a $n\in A\cap B$; a continuación,$$\langle n,n\rangle\in U\cap(\cl_{\beta\Bbb N}A\times\cl_{\beta\Bbb N}B)\;,$$ so $\ langle p,p\rangle\en\cl U$. Moreover, $A\cap B$ is infinite, so we can choose distinct $m,n\in A\cap B$ and observe that $$\langle m,n\rangle\in(\cl_{\beta\Bbb N}A\times\cl_{\beta\Bbb N}B)\cap\big((X\times Y)\setminus U\big)\;,$$ so that $\langle p,p\rangle\en\cl\big(X\times Y)\setminus U\big)$ así.

Answer 2

Todas son sí.

Q1, $\mathbb N$ es denso en $\beta\mathbb N$ $\beta\mathbb N$ es compactification de $\mathbb N$, y, por tanto, $\mathbb N \times \mathbb N$ también es denso en $\beta\mathbb N \times \beta\mathbb N$.

Q2, $\beta\mathbb N \times \beta\mathbb N$ es normal porque es Hausdorff compacto, y por lo tanto, $Z$ es de al menos Tychonoff (que podríamos ver más). Tenga en cuenta que la propiedad de Tychonoff es hereditaria. Y, por lo tanto, $Z$$T_1$. Tenga en cuenta que cada punto está cerrado en un $T_1$ espacio. Así, en el espacio discreto, cada punto es abierto y cerrado.