La lectura de un papel con respecto a los números de Bernoulli, y me topé con una definición. Primero vamos a
$$\frac{x}{e^x-1}=\sum_{k=0}^{\infty}B_k\frac{x^k}{k!}$$
A continuación, el autor pasa a definir nuevos términos.
Vamos
$$\beta_n=(-1)^n\frac{B_n}{n}, n\ge 1$$
tomando nota de que $\beta_n=B_n/n$ a excepción de $\beta_1=-B_1=1/2$ desde $B_n=0$ al $n$ es impar y mayor que 1. Ahora él define
$$\beta_n^{(j)}=\frac1{j!}\sum_{i_1+i_2+...+i_j=n}\binom{n}{i_1,i_2,...,i_j}\beta_{i_1}...\beta_{i_1}$$
Ni siquiera estoy seguro de por dónde empezar con esto, pero, supongo que estoy confundido acerca de la función de la envolvente $i_1+i_2+...+i_j=n.$ yo tendría que decir que la suma de los $i_k$'s son enteros particiones de un número $n$. Debo tomar esto como enteros únicos? O se trata simplemente de todas las posibles particiones de enteros de $n$? Así, por $n=4$, así que creo que el
$$\{4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1\}$$
o
$$\{4, 3+1, 1+3, 2+2, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 1+1+1+1\}$$
Y lo de la $j$? Así que esto me dice, por ejemplo si $j=2$ que mi suma es
$$\beta_4^{(2)}=\frac{1}{2!}\left[\binom{4}{2,2}\frac{B_2}{2}\frac{B_2}{2}+\binom{4}{3,1}\frac{B_3}{3}\frac{B_1}{1}\right]$$
O tengo que incluir el caso de $\binom{4}{1,3}$. O estoy completamente fuera para empezar?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Buscando en la fórmula (4) en la parte superior de la página 3 del documento deja en claro que Gessel utiliza la convención habitual, en el que suma más de $i_1+\cdots+i_j = n$ es una suma sobre todos los enteros no negativos $i_1,\ldots,i_j$ que se suma a $n$, en lugar de todas las particiones. En el caso de (4) también tenemos un límite inferior en $i_1,\ldots,i_j$. Si quería suma sobre todas las particiones él habría agregado la condición de $i_1\geq\cdots\geq i_j$, por lo que en (4), en lugar de $i,j,k \geq 2$ había $i\geq j\geq k\geq 2$.
Leer más abajo en el papel, la definición de citar, la fórmula (5), aparece en la parte superior de la página (4), seguido por la descripción "donde la suma es sobre los enteros positivos $i_1,\ldots,i_j$". De nuevo, no se menciona que $i_1,\ldots,i_j$ están ordenados.
