Integral de la $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{r \arctan(ax)}+e^{-r \arctan(ax)}}{1+x^2}\cos \left( \frac{r}{2}\log(1+a^2x^2)\right)dx$

Question

¿Cómo puedo demostrar que

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{r \arctan(ax)}+e^{-r \arctan(ax)}}{1+x^2}\cos \left( \frac{r}{2}\log(1+a^2x^2)\right)dx = 2\pi \cos \left( r\log(1+a)\right)$$ donde$a \in \mathbb{R}^+$$r \in \mathbb{R}$?

La relativamente simple resultado sugiere que podría ser posible evaluar la integral usando el contorno de la integración si se podía encontrar a la derecha de la función de contorno y combinación.

Answer 1

Esto es similar a este, y utiliza el mismo contorno. Es decir, considerar

$$\oint_C dz \frac{e^{r \arctan{a z}} + e^{-r \arctan{a z}}}{1+z^2} \exp{\left [i \frac{r}{2} \log{(1+a^2 z^2)} \right ]}$$

donde $a>0$ $C$ es un contorno que es un semicírculo en la mitad superior del plano, excepto que los desvíos de hasta justo a la izquierda del eje imaginario a $z=i/a$, alrededor de ese punto, y la parte posterior abajo a la derecha del eje imaginario al eje real, donde continúa a lo largo del semicírculo. Este desvío es necesario para evitar el punto de rama en $z=i/a$.

De esta manera, tenga en cuenta que hay un poste dentro de $C$ $z=i$ sólo al $a>1$. Al $a<1$, entonces no hay ningún polo dentro de $C$ y la integral es cero. Así, por $a>1$ tenemos la integral a lo largo del eje real es igual a $i 2 \pi$ veces el residuo en la pole $z=i$:

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{e^{r \arctan{a x}} + e^{-r \arctan{a x}}}{1+x^2} \exp{\left [i \frac{r}{2} \log{(1+a^2 x^2)} \right ]} = i 2 \pi \frac{e^{i r \mathrm{arctanh}{a}}+e^{-i r \mathrm{arctanh}{a}}}{2 i} \exp{\left [i \frac{r}{2} \log{(1-a^2)} \right ]}$$

De nuevo, utilice el hecho de que

$$\mathrm{arctanh}(a) = \frac{1}{2} \log{\left ( \frac{1+a}{1-a} \right )}$$

y llegamos

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{e^{r \arctan{a x}} + e^{-r \arctan{a x}}}{1+x^2} \exp{\left [i \frac{r}{2} \log{(1+a^2 x^2)} \right ]} = 2 \pi \cos{r \log{(1+a)}}$$

Terminamos esta considerando la misma integral, complejo conjugado, el uso de un contorno en la mitad inferior del plano -; los resultados son idénticos. Por lo tanto,

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{e^{r \arctan{a x}} + e^{-r \arctan{a x}}}{1+x^2} \cos{\left [ \frac{r}{2} \log{(1+a^2 x^2)} \right ]} = 2 \pi \cos{r \log{(1+a)}}$$

Answer 2

Hay una curiosa fórmula atribuida a Abel que afirma que si $f(a+z)$ puede ser expandida en una serie de la forma $ f(a+z) = \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} e^{-nz} $ si $z$ ser real o imaginario, a continuación, para $b >0$, $$\int_{0}^{\infty} \frac{f(a+ibt)+f(a-ibt)}{1+t^{2}} \, dt = \pi f(a+b).$$

Si asumimos $\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}$ converge absolutamente, la prueba es bastante sencillo.

$$ \begin{align} \int_{0}^{\infty} \frac{f(a+ibt)+f(a-ibt)}{1+t^{2}} \ dt &= 2 \int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+t^{2}} \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} \cos(nbt) \, dt \\ &= 2 \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} \int_{0}^{\infty} \frac{\cos (nbt)}{1+t^{2}} \, dt \\ &= \pi \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} e^{-nb} \\ &= \pi f(a+b) . \end{align}$$

No es muy claro, sin embargo, qué tipo de funciones que estamos hablando aquí.

Pero si asumimos que $\cos \Big(r \log (1+z)\Big)$ es una función, obtenemos

$$ \begin{align} &\int_{0}^{\infty} \frac{\cos \Big(r \log(1+iat) \Big) + \cos \Big(r \log(1-iat) \Big)}{1+t^{2}} \ dt \\ &= \int_{0}^{\infty} \frac{\cos \Big( \frac{r}{2} \log(1+a^{2}t^{2})+ir \arctan at \Big) + \cos \Big( \frac{r}{2} \log(1+a^{2}t^{2})-ir \arctan at \Big)}{1+t^{2}} \, dt \\ &= 2 \int_{0}^{\infty} \frac{\cosh (r \arctan at)}{1+t^{2}} \, \cos \Big(\frac{r}{2} \log(1+a^{2}t^{2})\Big) \, dt \\ &= \pi \cos \Big(r \log(1+a) \Big).\end{align} $$

Answer 3

$\newcommand{\+}{^{\daga}} \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,} \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ \begin{align} &\int_{-\infty}^{\infty}{% \exp\pars{r\arctan\pars{ax}} + \exp\pars{-r \arctan(ax)} \over 1+x^2}\, \cos\pars{{r \over 2}\,\ln\pars{1 + a^{2}x^{2}}}\,\dd x \\[3mm]&=2\pi\cos\pars{r\ln\pars{1 + a}}:\ {\large }?.\qquad\qquad\qquad a \in {\mathbb R}^{+}\,,\quad r \in {\mathbb R}. \end{align}

Tenga en cuenta que \begin{align} &\bracks{\exp\pars{r\arctan\pars{ax}} + \exp\pars{-r \arctan(ax)}}\, \cos\pars{{r \over 2}\,\ln\pars{1 + a^{2}x^{2}}} \\[3mm]&=2\cosh\pars{r\arctan\pars{ax}} \cosh\pars{\ic\,{r \over 2}\,\ln\pars{1 + a^{2}x^{2}}} \\[3mm]&=\cosh\pars{r\arctan\pars{ax} +\ic\,{r \over 2}\,\ln\pars{1 + a^{2}x^{2}}} \\[3mm]&+\cosh\pars{r\arctan\pars{ax} -\ic\,{r \over 2}\,\ln\pars{1 + a^{2}x^{2}}} \\[3mm]&=2\Re \cosh\pars{r\arctan\pars{ax} +\ic\,{r \over 2}\,\ln\pars{1 + a^{2}x^{2}}} \\[3mm]&=2\Re \cosh\pars{r\,{\ic \over 2}\,\ln\pars{1 - \ic ax \over 1 + \ic ax} +\ic\,{r \over 2}\,\bracks{\ln\pars{1 - \ic ax} + \ln\pars{1 + \ic ax}}} \\[3mm]&=2\Re\cosh\pars{\ic r\ln\pars{1 - \ic ax}} \end{align}

tal que \begin{align} &\!\!\!\!\!\!\!\color{#66f}{\large\int_{-\infty}^{\infty}\!\!{% \exp\pars{r\arctan\pars{ax}} + \exp\pars{-r \arctan(ax)} \over 1+x^2}\, \cos\pars{\!{r \over 2}\,\ln\pars{1 + a^{2}x^{2}}\!}\,\dd x} \\[3mm]&=2\Re\int_{-\infty}^{\infty} {\cosh\pars{\ic r\ln\pars{1 - \ic\verts{a}x}} \over 1 + x^{2}}\,\dd x =2\Re\braces{2\pi\ic\, {\cosh\pars{\ic r\ln\pars{1 - \ic\verts{a}\bracks{\ic}}} \over \ic + \ic}} \\[3mm]&=2\pi\,\Re\bracks{\cosh\pars{\ic r\ln\pars{1 + \verts{a}}}} =\color{#66f}{\large 2\pi\cos\pars{r\ln\pars{1 + \verts{a}}}} \end{align}