Cuando estamos hablando de la multiplicación, que a menudo utilizan sin saber que uno se define, ante la cual uno se define por su propiedad conmutativa.
Aquí quiero saber cual fue definido en el primer lugar?
$$\underbrace{a+a+a+\cdots+a+a+a}_{n \text{ terms}} \equiv n \times a $$
o
$$\underbrace{a+a+a+\cdots+a+a+a}_{n \text{ terms}} \equiv a \times n $$
?
El hecho de que la multiplicación es conmutativa hace que la pregunta no tiene ningún especialmente significativo contestar - se puede definir cualquier manera y obtener que la otra manera es correcto así. De hecho, se podría, dado, además, definir la multiplicación de números enteros por las propiedades: $$(a_1+a_2)(b_1+b_2)=a_1b_1+a_2b_1+a_1b_2+a_2b_2$$ $$1\cdot 1=1.$$ $$1\cdot -1=-1\cdot 1=-1.$$ Que es totalmente simétrica y rápidamente puede ser visto únicamente para definir la operación de multiplicación. Obviamente, dada la simetría de la definición, esto hace que la multiplicación conmutativa - sino que, además, ya se puede suministrar un totalmente simétrica definición, hace que la cuestión de la definición de "primera" carece de sentido, ya que podemos definir las cosas en las que ni es la primera, y tampoco está implícito en ser el primero.
Aparte de eso, tal vez su intención no es sólo acerca de los valores que la multiplicación se lleva a o de sus propiedades algebraicas, sino algo más general. Como, si usted desea ser consistentes a través de hyperoperators, tenga en cuenta que: $$a^b = \underbrace{a\cdot\ldots\cdot a}_{b\text{ times}}$$ así, tal vez, la primera definición que das es mejor en ese puesto, como el de la izquierda el operando controla el valor de la suma y la de la derecha controla el número de sumas tomadas. (Históricamente, apuesto a que ambas definiciones se presentaron de forma independiente, y el hecho de que eran equivalentes se entendía antes de la notación moderna de la multiplicación se presentaron)
Mientras esto no se ocupan directamente de la 'qué vino primero, la pregunta, creo que vale la pena señalar una suposición implícita en la pregunta original:
La multiplicación es conmutativa sobre números naturales, pero no sobre los números ordinales; $a\cdot b$ tiene un significado específico, y corresponde aproximadamente a $b$ copias de $a$ 'puso los pies a la cabeza' — en otras palabras, $a+a+a+\cdots+a$. En particular, $\omega\cdot 2\equiv \omega+\omega$ es de dos copias de $\omega$ (es decir, los números naturales) con una orden de tal forma que cada elemento de la "segunda" copia de $\omega$ es mayor que nunca de los elementos de la primera, se ve como $\langle 0_0, 1_0, 2_0, \ldots, 0_1, 1_1, 2_1, \ldots\rangle$. Por otro lado, $2\cdot\omega\equiv 2+2+2+\cdots$ $\omega$ copias de $2$ uno al lado del otro - y este es, precisamente, el orden de $\omega$ sí ( $2\cdot\omega$ $\langle0_0, 1_0, 0_1, 1_1, 0_2, 1_2, \ldots\rangle$ , y es fácil encontrar a una orden de preservación de la asignación de este a $\langle 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ldots\rangle$).
Algo multiplicada por un número... que algo no tiene que ser un número, puede ser una longitud, un área, un evento
Me gustaría pensar que "$a$ multiplicado por el $m$ o $a$ tomada $m$ veces, o $a$ $m$ veces, estos deben ser escritos como $a \times m$.
Sin embargo $m$ veces $a$ debe ser escrito como $m \times a$.
La respuesta puede depender también de la lengua, la tradición, el punto de vista.
Pregunta interesante.
A mí me pareció que no habría sido un método utilizado por los Romanos para realizar la multiplicación. Su método podría ser tomado como "primero". Así que he buscado y encontrado el siguiente. El pedido de "un x n' en la práctica es el número más pequeño primero.
"Por ejemplo, usted quiere saber 58 × 249. Escriba los dos números junto a una y otra; y, a continuación, haga doble uno y la mitad del otro. (Es preferible, aunque no obligatorio, de reducir a la mitad el más pequeño y el doble de grandes.) Si en reducir a la mitad hay un el resto, lo ignoran. Repita el proceso hasta que el número en la reducción a la mitad de la columna se reduce a 1. A continuación, en la duplicación de la columna de la cruz por cada número que representa frente a un número en la reducción a la mitad de la columna, y suma el resto. La suma es exactamente el producto que necesite: "
58 249
29 498
14 996
7 de 1992
3 3984
1 7968
suma el lado derecho (no tachado)
14442 = 58 × 249
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