Crecimiento asintótico de A279688: Números n tales n y 2n son anagramas en alguna base.

Question

Estoy perplejo por el comportamiento del crecimiento de mi reciente secuencia OEIS A279688 :

Números $n$ tal $n$ y $2n$ son anagramas en alguna base.

Algunos ejemplos de esta secuencia:

$a(2) = 8$ porque en base 5, $8 = 13_5$ y $16 = 31_5$ .

$a(3) = 18$ porque en la base $4$ , $18 = 102_4$ y $36 = 210_4$ .

Tengo curiosidad por saberlo:

1. Una conjetura o prueba del crecimiento asintótico de A279688.
2. Alguna idea sobre los aumentos de pendiente que aparecen alrededor de ~2800 y ~9100.

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Aquí hay un gráfico de la secuencia como referencia:

Answer 1

Creo que he llegado al fondo del asunto.

Base- $3$ y la base $4$ son (quizás sin sorpresa) las bases más comunes para $n$ y $2n$ para ser anagramas.

He publicado una nueva secuencia de la OEIS que lo ilustra bien: A279916:

Menos $b$ tal que $A279688(n)$ y $2 \times A279688(n)$ son anagramas en base $b$ .

Si se observa el diagrama de dispersión de esta nueva secuencia, se puede ver que las pronunciadas pendientes del primer gráfico coinciden con los lugares en los que no hay base- $3$ o base- $4$ anagramas (es decir, donde los anagramas son relativamente raros).

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¿Por qué aparecen estos huecos para la base 3 y la base 4?

Una de las razones es que $n$ y $2n$ sólo pueden ser anagramas en base- $b$ si existe algún número entero $k$ donde $b^k < n < \frac{1}{2}b^{k+1}$ . Si $n$ está fuera de este rango, entonces $n$ y $2n$ tendrá un número diferente de base- $b$ dígitos, y por lo tanto no pueden ser anagramas unos de otros.

Si se observa el gráfico original, la primera pendiente pronunciada aparece donde coinciden las "zonas prohibidas" de base 3 y base 4, donde el $y$ -El eje está en el intervalo:

$$\left(\frac{1}{2}4^8, 4^8\right) \cap \left(\frac{1}{2}3^{10}, 3^{10}\right) = (32768, 59049)$$