¿Cómo podría la serie a continuación se calcula ?
$$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k!}}$$
No es una serie de un libro, sino una serie pensé muchas veces, y yo no
gestionar de averiguar lo que debe hacer aquí. Sólo tengo curiosidad de saber si hay
algunas de las maneras de acercarse a este tipo de series. Gracias!
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Esta es una versión binaria de Liouville es constante, uno de los primeros explícitamente los números dados para ser probado trascendental. No creo que se tiene la mejor expresión de la propia serie.
Por supuesto, es fácil escribir la suma, como una fracción binaria!
$$ 1.01000100000000000000000100000..._2 $$
y también es fácil de producir la representación decimal del dígito por dígito, excepto para el primer par de términos, el primer dígito significativo de cada término viene después de que el último dígito distinto de cero de los términos antes, por lo que tenemos
$$ 1.265625059604644775390625000000..._{10} $$
Mike
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De hecho, la serie muy probable que no tiene mejor forma cerrada que eso, y su valor es trascendental. Esto puede ser explicado por el hecho de que el número es lo que se denomina Número de Liouville — en un sentido, es "demasiado cerca" a sus aproximaciones racionales a ser un algebraica de números. Para más detalles sobre estrechamente relacionados con el número (en sustitución de su $2$ por $10$, echar un vistazo a http://mathworld.wolfram.com/LiouvillesConstant.html (y de Liouville del número revisited ) — en particular, resulta que las fracciones continuas para estos números tienen una asombrosa forma explícita.
jasimmk
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Dudo mucho que se pueda dar en una forma cerrada, pero si usted esta interesado en la muy rápida convergencia de la serie que puede ser dado en forma cerrada aquí hay un par:
$$\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{x^{2^n}+1}=\frac{1}{x-1}$$ $$\sum_{n=0}^\infty \frac{3^n(3^{3^n}+2)}{(x^2)^{3^n}+x^{3^n}+1}=\frac{1}{x-1}$$ $$\int_{0}^1\frac{1}{x^x} \ dx=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^n}$$
