Formas alternativas de demostrarlo $\int_0^{2\pi} \cos(\sin{x})e^{\cos{x}} dx=2\pi$ ¿sin análisis complejos?

Question

$$\int_0^{2\pi} \cos(\sin{x})e^{\cos{x}} dx=2\pi$$

Obtuve este increíble resultado mediante el teorema de Cauchy mientras trabajaba con algunas integrales de contorno sencillas. Me preguntaba si esta integral se puede resolver sin análisis complejo, y si es así, ¿cómo? No veo ninguna sustitución obvia que pueda ser posible, ni ninguna parametrización que pueda simplificar la integral mediante el método de Feynman.

Answer 1

Observa en primer lugar que el integrando es simétrico respecto al eje $\theta=\pi$ , por lo que tenemos

$$\int_0^{2\pi}e^{\cos\theta}\cos(\sin\theta)d\theta = 2\int_0^{\pi}e^{\cos\theta}\cos(\sin\theta)d\theta$$

Definimos la siguiente función:

\begin{align} I(t) :&= \int_{0}^{\pi}e^{t\cos\theta}\cos(t\sin\theta)d\theta\\ &= \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\exp\left[\frac{t}{2}(e^{i\theta}+e^{-i\theta})\right]\left[\exp\left(\frac{t}{2}(e^{i\theta}-e^{-i\theta})\right)+\exp\left(-\frac{t}{2}(e^{i\theta}-e^{-i\theta})\right)\right]d\theta\\ &= \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\left[\exp\left(te^{i\theta}\right)+\exp\left(te^{-i\theta}\right)\right]d\theta \end{align}

Diferenciamos con respecto a $t$ y obtener

\begin{align} I'(t) = \frac{1}{2}\int_0^\pi\left[e^{i\theta}\exp\left(te^{i\theta}\right) + e^{-i\theta}\exp\left(te^{-i\theta}\right)\right]d\theta \end{align}

Dejemos que $u:=e^{i\theta}$ entonces $-idu=e^{i\theta}d\theta$ , $u(0) = 1$ y $u(\pi)=-1$ . Del mismo modo, dejemos que $z:=e^{-i\theta}$ entonces $idz=e^{-i\theta}d\theta$ , $z(0) = 1$ y $z(\pi)=-1$ .

Entonces

\begin{align} I'(t) &= -\frac{i}{2}\int_1^{-1}e^{tu}du + \frac{i}{2}\int_1^{-1}e^{tz}dz\\ &= \frac{i}{2}\left[\int_{-1}^1 e^{tu}du - \int_{-1}^1 e^{tz}dz\right] \\ &= 0 \end{align}

desde $u$ y $z$ son variables ficticias.

Desde $I'(t) = 0$ para cualquier $t$ , $I(t) = c$ para algunos $c$ para todos los valores de $t$ .

Calculamos fácilmente

$$I(0) = \int_0^\pi d\theta = \pi$$

Así tenemos el siguiente resultado:

$$\int_0^{2\pi}e^{\cos\theta}\cos(\sin\theta)d\theta = 2\pi$$

Answer 2

\begin{align} \int_0^{2\pi} \cos(\sin{x})e^{\cos{x}} dx &=Re\left( \int_0^{2\pi} e^{i\sin(x)}e^{\cos{x}} dx\right) \\ &= Re \left(\int_0^{2\pi} e^{e^{i x}} dx\right)\\ &= Re \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\int_0^{2\pi} e^{inx} dx\right) \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\int_0^{2\pi} \cos(nx) dx \\ &= \int_0^{2\pi} dx = 2\pi \end{align}