Aquí es una estrategia para la construcción de las integrales de conversión de a $\pi e$ relativamente fácilmente. Básicamente todo lo que necesitamos es una función derivable $F(t)$ (que no contenga $\pi$ o $e$ en sí mismo) tal que $\lim_{t \to t_0}F(t) = \pi e$. A continuación, suponiendo $F'(x)=f(x)$ hemos
$$
\int_0^{t_0}f(x) \,dx = \lim_{t\to t_0} \int_0^{t}f(x) \,dx = \lim_{t\to t_0} F(t) = \pi e
$$
Tan sólo tenemos que encontrar la adecuada función de los límites que nosotros queremos, sin que contengan $\pi$ o $e$ dentro de la propia función. Parece también conveniente para encontrar la función que se ha simples derivados, y que es la parte más difícil... Así que vamos a construir uno y tal vez mejor, que vendrá más adelante. Vamos a probar
$$
F(x)=2 \arcsin x\cdot (2-x)^{\frac1{1-x}}
$$
No es difícil comprobar que $\lim_{t\to 1} F(t) = \pi e$, por lo que tenemos
$$
\int_0^{t_0}F'(x) \,dx = \int_0^{1}\frac{2(2-x)^\frac1{1-x}}{\sqrt{1-x^2}}+2 \arcsin x (2-x)^\frac1{1-x}\left(\frac{\ln (2-x)}{(1-x)^2}-\frac1{(1-x)(2-x)}\right)\,dx = \pi e
$$
Aunque el resultado final no es muy satisfactorio, en principio, es posible probar otras opciones para $F(x)$ y tratar de encontrar algo que se vea mejor.
Edit: Uno puede hacer el similar también para series infinitas, necesitamos secuencia $a_n$ convergentes a$\pi e$$a_1=0$. Entonces tenemos
$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n -a_{n-1} = \lim_{k\to \infty} \sum_{n=1}^{k} a_n-a_{n-1} = \lim_{k\to \infty} a_k-a_{0} = \pi e$$
de modo que la selección del mismo modo como en el anterior deje $a_n = 2\arcsin\left(\frac{n}{n+1}\right)\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$n>0$$a_0=0$, luego
$$\sum_{n=1}^{\infty} 2\arcsin\left(\frac{n}{n+1}\right)\left(1+\frac{1}{n}\right)^n -2\arcsin\left(\frac{n-1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1} = \pi e$$