¿Puede ser simétrico el producto de dos matrices no simétricas?

Question

Me preguntaba si el producto de dos matrices no simétricas puede ser alguna vez una matriz simétrica. Sinceramente, no sabría cómo abordar este problema.

Answer 1

Pruebe primero con algo sencillo:

$$\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}\;.$$

En general, si $A$ es cualquier matriz real cuadrada, $AA^T$ es simétrico: el $(i,j)$ -es el producto punto del $i$ -en la fila de $A$ y el $j$ -en la columna de $A^T$ y el $j$ -en la columna de $A^T$ es el $j$ -en la fila de $A$ Así que el $(i,j)$ -a entrada de $AA^T$ es el producto punto del $i$ -y $j$ -a filas de $A$ . El $(j,i)$ -a entrada de $AA^T$ es entonces el producto punto del $j$ -y $i$ -a filas de $A$ que, por supuesto, es lo mismo.

Sin embargo, este no es el único tipo de ejemplo:

$$\begin{bmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$$

Answer 2

Como contraejemplo alternativo que no es $AA^T$ o $A^TA$ : Dejemos que $A$ sea cualquier matriz no simétrica e invertible. Entonces la matriz inversa $A^{-1}$ tampoco será simétrica (*). Sin embargo, $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$ la matriz identidad, que por supuesto es simétrica.

(*) Prueba: Supongamos que $A^{-1} = (A^{-1})^T$ . Entonces $$A^{-1} = (A^{-1})^T = (A^T)^{-1},$$ por lo que $A = A^T$ . Pero asumimos que $A$ era no simétrico.

Answer 3

He aquí un ejemplo muy sencillo.

Tomemos como ejemplo la siguiente matriz $A = \begin{pmatrix}1 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ y su transposición $A' = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ el producto de $$A*A' = \begin{pmatrix}10 & 8 \\ 8 & 8 \end{pmatrix}$$ que es simétrica. Así que esto se sostiene de manera bastante trivial.

Answer 4

Tenga en cuenta que si $A$ es invertible, entonces $(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$ así que $A$ es simétrico si $A^{-1}$ es simétrica. Por lo tanto, si $A$ es cualquier matriz invertible no simétrica, $A$ y $A^{-1}$ son ambos no simétricos pero su producto $AA^{-1}=I$ es simétrica.

(Para demostrar que $(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$ Sólo hay que tener en cuenta que $A^T(A^{-1})^T=(A^{-1}A)^T=I^T=I$ .)

Answer 5

También hay infinitas soluciones posibles sin los ejemplos dados de pares de matrices transpuestas o inversas. Se puede suponer una matriz simétrica arbitraria $A$ utilizar una rotación en las columnas, mediante una matriz de rotación $R$ y obtener $B = A \cdot R^{-1}$ . Entonces $B$ es (al menos muy probablemente) no simétrica, no es una transposición o inversa de $R$ y todavía $A = B \cdot R$